मान लें कि $x, y, z$ धनात्मक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $HCF (x, y, z)=1$ तथा $x^2+y^2=2 z^2$. तब निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है ?

$I$. $4,{ }^x$ को विभाजित करता है या $4, y$ को विभाजित करता है।

$II$. $3,{ }^{x+y}$ को विभाजित करता है या $3, x-y$ को विभाजित करता है।

$III$. $5,2\left(x^2-y^2\right)$ को विभाजित करता है।

समीकरणों $6 x+4 y+z=200$ एवं $x+y+z=100$ के अरुणात्मक $(non-negative)$ पूर्णांक हलों की संख्या क्या होगी ?

यदि $\alpha, \beta $ $\gamma$  समीकरण $2{x^3} - 3{x^2} + 6x + 1 = 0$ के मूल हों, तो ${\alpha ^2} + {\beta ^2} + {\gamma ^2}$ का मान है

माना $\alpha, \beta, \gamma$ समीकरण $x^3+b x+c=0$ के तीन मूल हैं। यदि $\beta \gamma=1=-\alpha$, तो $b^3+2 c^3-3 \alpha^3-6 \beta^3-8 \gamma^3$ बराबर है।

$\lambda $ के किस मान के लिये समीकरण ${x^2} + (2 + \lambda )\,x - \frac{1}{2}(1 + \lambda ) = 0$ के मूलों के वर्गो का योग न्यूनतम होगा

दो भिन्न बहुपद $f(x)$ और $g(x)$ इस प्रकार हैं: $f(x)=x^2+a x+2 ; \quad g(x)=x^2+2 x+a \text {. }$

यदि समीकरण $f(x)=0, g(x)=0$ का एक शून्यक साझा हो तो, समीकरण $f(x)+g(x)=0$ के शून्यकों का योग होगा :