माना $\left\{a_{\mathrm{k}}\right\}$ तथा $\left\{\mathrm{b}_{\mathrm{k}}\right\}, \mathrm{k} \in \mathbb{N}$, दो G.P. है, जिनके सार्व अनुपात क्रमशः $r_1$ तथा $r_2$ है और $a_1=b_1=4$, $\mathrm{r}_1<\mathrm{r}_2$ है। माना $\mathrm{c}_{\mathrm{k}}=\mathrm{a}_{\mathrm{k}}+\mathrm{b}_{\mathrm{k}}, \mathrm{k} \in \mathbb{N}$ है। यदि $\mathrm{c}_2=5$ तथा $\mathrm{c}_3=\frac{13}{4}$ है तो $\sum_{\mathrm{k}=1}^{\infty} \mathrm{c}_{\mathrm{k}}-\left(12 \mathrm{a}_6+8 \mathrm{~b}_4\right)$ बराबर है________. 

यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी के प्रथम $3$ पदों का योग तथा प्रथम $6$ पदों के योग का अनुपात $125 : 152$ हो, तो सार्वनिष्पत्ति है

किसी गुणोत्तर श्रेणी का $6$ वाँ पद $32$ तथा $8$ वाँ पद $128$ है, तो श्रेणी का सार्वानुपात होगा

समीकरण $1 + a + {a^2} + {a^3} + ....... + {a^x}$ $ = (1 + a)(1 + {a^2})(1 + {a^4})$ के लिए $x$ का मान है

निम्नलिखित श्रेणियों के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

$5+55+555+\ldots$

$60$ तथा $n$ पदों की दो $G.P.$ क्रमशः $2,2^2, 2^3, \ldots$ तथा $4,4^2, 4^3, \ldots$ हैं। यदि सभी $60+ n$ पदों का गुणोत्तर माध्य $(2)$ ${ }^{\frac{225}{8}}$ है, तो $\sum \limits_{ k =1}^{ n } k ( n - k )$ बराबर है :