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माना $\mathrm{A}=\left[\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}\right]_{2 \times 2}$ जहाँ सभी $\mathrm{i}, \mathrm{j}$ के लिये $\mathrm{a}_{\mathrm{ij}} \neq 0$ एवं $\mathrm{A}^2=\mathrm{I}$ हैं। माना $\mathrm{A}$ के विकर्ण के सभी अवयवों का योग $\mathrm{a}$ है और $\mathrm{b}=|\mathrm{A}|$ है। तब $3 \mathrm{a}^2+4 \mathrm{~b}^2$ बराबर है
$7$
$14$
$3$
$4$
Solution
$\begin{aligned}& \text { Let } A=\left[\begin{array}{ll} p & l \\r & s\end{array}\right] \\& A^2=\left[\begin{array}{ll} p ^2+ qr & pq + qs \\pr + rs & qs + s ^2\end{array}\right] \\& \Rightarrow p ^2+ qr =1(1) pq + qs =0 \Rightarrow q ( p + s )=0 \\& \Rightarrow s ^2+ qr =1(2) pr + rs =0 \Rightarrow r(p+s)=0\end{aligned}$
Equation $(1)$ – equation $(2)$
$p ^2= s ^2 \Rightarrow p + s =0$
Now $3 a^2+4 b^2$
$=3(p+s)^2+4(p s-q r)^2$
$=3.0+4\left(-p^2-q r\right)^2=4\left(p^2+q r\right)^2=4$
