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माना कि $3 \times 3$ आव्यूह $M=\left(a_{i j}\right), i, j \in\{1,2,3\}$, इस प्रकार है कि $a_{i j}=1$ यदि $i$ से $j+1$ विभाज्य (divisible) है, अन्यथा $a_{i j}=0$ है। तब निम्न में से कौन सा (से) कथन सत्य है (हैं)?
$(A)$ $M$ व्युत्क्रमणीय (invertible) है
$(B)$ एक शून्येतर (nonzero) स्तंभ आव्यूह (column matrix) $\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right)$ का अस्तित्व इस प्रकार है कि
$M\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}-a_1 \\ -a_2 \\ -a_3\end{array}\right)$
$(C)$ समुच्चय $\left\{X \in R ^3: M X=0\right\} \neq\{0\}$, जहाँ $0=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right)$
$(D)$ आव्यूह $(M-2 I)$ व्युत्क्रमणीय है, जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ तत्समक आव्यूह (identity matrix) है
$B,C$
$B,D$
$B,A$
$A,C,D$
Solution
$M=\left[\begin{array}{lll}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]$
$|M|=-1+1=0 \Rightarrow M$ is singular so non-invertible
(B) $\mathrm{M}\left[\begin{array}{l}\mathrm{a}_1 \\ \mathrm{a}_2 \\ a_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}-a_1 \\ -a_2 \\ -a_3\end{array}\right] \Rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}-a_1 \\ -a_2 \\ -a_3\end{array}\right]$
$\left.\begin{array}{l}a_1+a_2+a_3=-a_1 \\ a_1+a_3=-a_2 \\ a_2=-a_3\end{array}\right\} \Rightarrow a_1=0$ and $a_2+a_3=0$ infinite solutions exists [B] is correct.
Option $(D)$
$\mathrm{M}-2 \mathrm{I}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]-2\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2\end{array}\right]$
$|M-2 I|=0 \Rightarrow[D]$ is wrong Option ($C$) :
$\mathrm{MX}=0 \Rightarrow\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}x \\ y \\ z\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 0\end{array}\right]$
$x+y+z=0$
$x+z=0$
$y=0$
$\therefore$ Infinite solution
$[\mathrm{C}]$ is correct
