माना कि P, 3 × 3 कोटि (order) का एक ऐसा आव्यूह (matri

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3 and 4 .Determinants and Matrices

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माना कि $P, 3 \times 3$ कोटि (order) का एक ऐसा आव्यूह (matrix) है कि $P$ की सभी प्रविष्टियाँ (entries) समुच्चय (set) $\{-1,0,1\}$ में से है। तब $P$ के सारणिक (determinant) का अधिकतम संभावित मान (maximum possible value) है. ............|

$7$

$6$

$5$

$4$

(IIT-2018)

Solution

$\Delta=\left|\begin{array}{lll}a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3\end{array}\right|=\left(a_1 b_2 c_3+a_3 c_2 b_1+a_2 c_1 b_3\right)-\left(a_1 b_3 c_2+a_2 c_3 b_1+a_3 c_1 b_2\right)$

$\left\{ a _{ i }, b _{ i }, c _{ i }\right\} \equiv\{-1,0,1\} i =1,2,3$

Maximum value can be $6$, but that's not possible.

(For $\Delta=6,3$ entries should be $1$ and $6$ entries should be -$1$ in first bracket and $3$ entries should be -$1$ and $6$ entries should be $1$ in second bracket. That's a contradiction!)

$\Delta \neq 5$. (Even if one element is $0$ )

$\therefore \Delta_{\max }=4$ which is possible.

$\operatorname{Ex}:\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right]$

Standard 12

Mathematics

सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\{\cos (p – d)x}&{\cos px}&{\cos (p + d)x}\\{\sin (p – d)x}&{\sin px}&{\sin (p + d)x}\end{array}\,} \right|$ का मान किस प्राचल पर निर्भर नहीं करता है

medium

(IIT-1997)

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|=\left(1-x^{3}\right)^{2}$

hard

समीकरण $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + \alpha }&\beta &\gamma \\\gamma &{x + \beta }&\alpha \\\alpha &\beta &{x + \gamma }\end{array}\,} \right| = 0$ से प्राप्त $x$ के मान होंगे

medium

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&{x – z}&{x – y}\\{y – z}&{z – x}&{y – x}\\{z – y}&{z – x}&{x + y}\end{array}\,} \right| = k\,xyz$,तो $ k$ का मान है

medium

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} + {c^2}}&{{a^2}}&{{a^2}}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}\,} \right| = $

hard

(IIT-1980)

Solution

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सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}1&a&{{a^2}}\\{\cos (p – d)x}&{\cos px}&{\cos (p + d)x}\\{\sin (p – d)x}&{\sin px}&{\sin (p + d)x}\end{array}\,} \right|$ का मान किस प्राचल पर निर्भर नहीं करता है

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए : $\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|=\left(1-x^{3}\right)^{2}$

समीकरण $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{x + \alpha }&\beta &\gamma \\\gamma &{x + \beta }&\alpha \\\alpha &\beta &{x + \gamma }\end{array}\,} \right| = 0$ से प्राप्त $x$ के मान होंगे

यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&{x – z}&{x – y}\\{y – z}&{z – x}&{y – x}\\{z – y}&{z – x}&{x + y}\end{array}\,} \right| = k\,xyz$,तो $ k$ का मान है

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{b^2} + {c^2}}&{{a^2}}&{{a^2}}\\{{b^2}}&{{c^2} + {a^2}}&{{b^2}}\\{{c^2}}&{{c^2}}&{{a^2} + {b^2}}\end{array}\,} \right| = $

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सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|=\left(1-x^{3}\right)^{2}$