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माना $a , b$ तथा $\lambda$ धनात्मक वास्तविक संख्यायें है। माना परवलय $y ^2=4 \lambda x$ के नाभिलम्ब का अंतिम बिन्दु $P$ है तथा माना दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{ b ^2}=1$, बिन्दु $P$ से गुजरता है। यदि परवलय तथा दीर्घवृत्त के बिन्दु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखायें एक दूसरे के लम्बवत् हो, तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता होगी
$\frac{1}{\sqrt{2}}$
$\frac{1}{2}$
$\frac{1}{3}$
$\frac{2}{5}$
Solution
$y ^2=4 \lambda x , P (\lambda, 2 \lambda)$
Slope of the tangent to the parabola at point $P$
$\frac{ dy }{ dx }=\frac{4 \lambda}{2 y }=\frac{4 \lambda}{2 x 2 \lambda}=1$
Slope of the tangent to the ellipse at $P$
$\frac{2 x }{ a ^2}+\frac{2 yy ^{\prime}}{ b ^2}=0$
As tangents are perpendicular $y^{\prime}=-1$
$\Rightarrow \frac{2 \lambda}{a^2}-\frac{4 \lambda}{b^2}=0 \Rightarrow \frac{a^2}{b^2}=\frac{1}{2}$
$\Rightarrow e=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$
