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दीर्घवृत्त ${x^2} + 2{y^2} = 2$ पर किसी बाह्य बिन्दु से खींची गयी स्पर्श रेखाओं द्वारा निर्देशांक अक्षों से काटे गये अन्त:खण्ड के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ है
$\frac{1}{{{x^2}}} + \frac{1}{{2{y^2}}} = 1$
$\frac{1}{{4{x^2}}} + \frac{1}{{2{y^2}}} = 1$
$\frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} = 1$
$\frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{{y^2}}} = 1$
Solution
(c) माना स्पर्श बिन्दु $R \equiv (\sqrt 2 \cos \theta ,\,\sin \theta )$
स्पर्श रेखा $AB$ का समीकरण
$\frac{x}{{\sqrt 2 }}\cos \theta + y\sin \theta = 1$
$ \Rightarrow $ $A \equiv (\sqrt 2 \sec \theta ,\,0);\,B \equiv (0,\,{\rm{cosec }}\theta )$
माना $AB$ का मध्य बिन्दु $Q$ $(h,\,k)$ है
$ \Rightarrow $ $h = \frac{{\sec \theta }}{{\sqrt 2 }},\,k = \frac{{{\rm{cosec }}\theta }}{2} $
$\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{{h\sqrt 2 }},\,\sin \theta = \frac{1}{{2k}}$
$ \Rightarrow $ $\frac{1}{{2{h^2}}} + \frac{1}{{4{k^2}}} = 1$,
अत: अभीष्ट बिन्दुपथ $\frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} = 1$ है।
ट्रिक : दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की स्पर्श रेखाओं के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ अक्षों को
${a^2}{y^2} + {b^2}{x^2} = 4{x^2}{y^2}$ के बीच में काटता है।
अर्थात्, $\frac{{{a^2}}}{{4{x^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{4{y^2}}} = 1$
या $\frac{1}{{2{x^2}}} + \frac{1}{{4{y^2}}} = 1$.
