माना $M , 3 \times 3$ का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है जिसकी वास्तविक प्रविष्टियाँ है तथा माना $I , 3 \times 3$ के तत्समक आव्यूह को दर्शाता है। यदि $M ^{-1}=\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M )$ हो, तो निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सदैव सत्य होगा/होगें ?

$(A)$ $M=I$   $(B)$ $\operatorname{det} M =1$   $(C)$ $M ^2= I$  $(D)$ $(\operatorname{adj} M)^2=I$

यदि $a \neq 0$ हो तो समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}x+a & x & x \\ x & x+a & x \\ x & x & x+a\end{array}\right|=0$ को हल कीजिए।

सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके निम्नलिखित प्रश्न को सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1+p & 1+p+q \\ 2 & 3+2 p & 4+3 p+2 q \\ 3 & 6+3 p & 10+6 p+3 q\end{array}\right|=1$

यदि $ab + bc + ca = 0$ और $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{a - x}&c&b\\c&{b - x}&a\\b&a&{c - x}\end{array}\,} \right| = 0$, तो $x$ का एक मान होगा      

$\left|\begin{array}{ccc}x & y & x+y \\ y & x+y & x \\ x+y & x & y\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना $a -2 b + c =1$ है। यदि $f(x)=\left|\begin{array}{lll}x+a & x+2 & x+1 \\x+b & x+3 & x+2 \\x+c & x+4 & x+3\end{array}\right|$ है, तो