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माना $M , 3 \times 3$ का व्युत्क्रमणीय आव्यूह है जिसकी वास्तविक प्रविष्टियाँ है तथा माना $I , 3 \times 3$ के तत्समक आव्यूह को दर्शाता है। यदि $M ^{-1}=\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M )$ हो, तो निम्न में से कौनसा/कौनसे कथन सदैव सत्य होगा/होगें ?
$(A)$ $M=I$ $(B)$ $\operatorname{det} M =1$ $(C)$ $M ^2= I$ $(D)$ $(\operatorname{adj} M)^2=I$
$B,C,D$
$A,B,D$
$A,B$
$A,C$
Solution
$\operatorname{det}( M ) \neq 0$
$M ^{-1}=\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M )$
$M ^{-1}=\operatorname{det}( M ) \cdot M$ $. . . . . . .(I)$
$M ^{-1} M =\operatorname{det}( M ) \cdot M ^2$
$I =\operatorname{det}( M ) \cdot M ^2$ $. . . . . . .(II)$
$\operatorname{det}( I )=(\operatorname{det}( M ))^5$
$1=\operatorname{det}( M )$
From (i) $I = M ^2$
$(\operatorname{adj} M )^2=\operatorname{adj}\left( M ^2\right)=\operatorname{adj} I = I$
