- Home
- Standard 12
- Mathematics
मान लीजिए कि $\alpha, \beta$ तथा $\gamma$ ऐसी वास्तविक संख्याएँ है जिनके लिए रैखिय समीकरणों
$x+2 y+3 z=\alpha$
$4 x+5 y+6 z=\beta$
$7 x+8 y+9 z=\gamma-$
का निकाय (system of linear equations) संगत (consistent) है। मान लीजिए कि $| M |$ आव्यूह (matrix)
$M=\left[\begin{array}{ccc}\alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right]$
का सारणिक (determinant) है।
मान लीजिए कि $P$ उन सभी $(\alpha, \beta, \gamma)$ को अंतर्विष्ट करने वाला समतल है। जिनके लिए ऊपर दिए गए रैखिक समीकरणों का निकाय संगत है, और $D$, बिन्दु $(0,1,0)$ की समतल $P$ से दूरी के वर्ग (square of the distance) का मान है।
($1$) $| M |$ का मान. . . .है।
($2$) $D$ का मान. . . .है।
$1,1.5$
$1,1.6$
$1,1.7$
$1,1.8$
Solution
$7 x+8 y+9 z-(\gamma-1)=A(4 x+5 y+6 z-\beta)+B(x+2 y+3 z-\alpha)$
$x: 7=4 A+B$
$y: 8=5 A+2 B$
$A=2, B=-1$
$\text { const. term : }-(\gamma-1)=-A \beta-\alpha B \Rightarrow-(\gamma-1) \equiv 2 \beta+\alpha \alpha-2 \beta+\gamma=1$
$M=\left(\begin{array}{ccc}\alpha & 2 & \gamma \\ \beta & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 1\end{array}\right)=\alpha-2 \beta+\gamma=1$
Plane $P : x -2 y + z =1$
$\text { Perpendicular distance }=\left|\frac{3}{\sqrt{6}}\right|= P \Rightarrow D = P ^2=\frac{9}{6}=1.5$
