माना कि $E_1$ और $E_2$ दो दीर्घवृत हैं जिनके केन्द्र मूलबीन्दु हैं। $E_1$ और $E_2$ की दीर्घ अक्षायें क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं। माना कि $S: x^2+(y-1)^2=2$ एक वृत्त है। सरल रेखा $x+y=3$, वक्रों $S, E_1$ और $E_2$ को क्रमशः $P, Q$ और $R$ पर स्पर्श करती है। माना कि $P Q=P R=\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ है। यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः $E_1$ और $E_2$ की उत्केन्द्रता (eccentricities) हैं, तब सही कथन है

$(A)$ $e_1^2+e_2^2=\frac{43}{40}$

$(B)$ $e_1 e_2=\frac{\sqrt{7}}{2 \sqrt{10}}$

$(C)$ $\left|e_1^2-e_2^2\right|=\frac{5}{8}$

$(D)$ $e_1 e_2=\frac{\sqrt{3}}{4}$

प्रतिबंधों को संतुष्ट करते हुए दीर्घवृत्त का समीकरण ज्ञात कीजिए

केंद्र $(0,0)$ पर, दीर्घ-अक्ष, $y-$अक्ष पर और बिंदुओं $(3,2)$ और $(1,6)$ से जाता है।

माना दीर्धवृत्त $\frac{ x ^2}{ a ^2}+\frac{ y ^2}{4}=1, a > 2$, के अन्तर्गत, अधिकतम क्षेत्रफल वाले त्रिभुज का एक शीर्ष, दीर्घवत्त के दीर्घअक्ष के एक सिरे पर है तथा एक भुजा $y$-अक्ष के समान्तर है। यदि त्रिभुज का अधिकतम क्षेत्रफल $6 \sqrt{3}$ है तो दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता होगी :

दीर्घवृत्त  $3{x^2} + 2{y^2} = 5$ पर बिन्दु  $(1, 2)$ से खींची गयीं स्पर्श रेखाओं के बीच कोण है    

यदि वक्रों $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$ और $x^2+y^2=12$ की उभयनिष्ट स्पर्श रेखा की ढाल $m$ हो तो $12 m ^2$ का मान होगा

दीर्घवृत्त $9{x^2} + 36{y^2} = 324$, जिसकी नाभियाँ $S$ तथा $S'$ है, पर $P$ कोई बिन्दु है, तब $SP + S'P$ का मान होगा