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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola
hard
मान लें $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(b < a)$ एक दीर्घवृत्त है जिसका दीर्घ अक्ष $A B$ एवं लघु अक्ष $C D$ है. मान लें कि $F_1$ एवं $F_2$ इसकी दो नाभियाँ हैं. खंड $A B$ में $A, F_1, F_2, B$ क्रम में हैं. मान लें $\angle F_1 C B=90^{\circ}$, दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता है.
A
$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
B
$\frac{1}{\sqrt{3}}$
C
$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
D
$\frac{1}{\sqrt{5}}$
(KVPY-2020)
Solution
(c)
Here, $\angle F_1 C B=90^{\circ}$
$\frac{-b}{a} \cdot \frac{b}{a e}=-1 \Rightarrow \frac{b^2}{a^2}=e \Rightarrow e=1-e^2$
$e^2+e-1=0$
$e=\frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \stackrel{\overline{5}}{2} \Rightarrow e=\frac{\sqrt{5}-1}{}$
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