माना $\mathrm{C}$ सबसे बड़ा वृत्त है, जिसका केन्द्र $(2,0)$ पर है तथा जो दीर्घवृत $\frac{\mathrm{x}^2}{36}+\frac{\mathrm{y}^2}{16}=1$ के अंतर्गत है। यदि बिन्दु $(1, \alpha)$ वृत्त $C$ पर है, तो $10 \alpha^2$ बराबर है_______________. 

दीर्घवृत्तों (Ellipses) $\left\{ E _1, E _2, E _3, \ldots ..\right\}$ और आयतों (rectangles) $\left\{ R _1, K _2, K _3, \ldots ..\right\}$ के संग्रहों को निम्न प्रकार से परिभाषित करे :

$E_1: \frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$

$R _1$ : अधिकतम क्षेत्र (largest area) का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों (axes) के समान्तर है, और जो $E _1$ में अंतस्थित (inscribed) है ;

$E _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र वाला दीर्घवृत्त $\frac{ x ^2}{ a _{ n }^2}+\frac{ y ^2}{ b _{ n }^2}=1$ जो $R _{ n -1}, n >1$ में अंतर्स्थित है ;

$R _{ n }$ : अध्कितम क्षेत्र का आयत, जिसकी भुजाएं अक्षों के समान्तर है, और जो $E _{ n }, n >1$ में अंतस्थित है। तब निम्न में से कौनसा (से) विकल्प सही है (हैं) ?

$(1)$ $E _{18}$ और $E _{19}$ की उत्केन्द्रतायें (eccentricities) समान नहीं है

$(2)$ $E _{ o }$ में केन्द्र से एक नाभि (focus) की दूरी $\frac{\sqrt{5}}{32}$ है

$(3)$ $E _9$ के नाभिलम्ब (latus rectum) की लम्बाई $\frac{1}{6}$ है

$(4)$ प्रत्येक पूर्णांक $N$ के लिए $\sum_{ n =1}^{ N }\left( R _{ n }\right.$ का क्षेत्रफल $)<24$ है

उस दीर्घवृत्त का समीकरण जिसका केन्द्र मूलबिन्दु है तथा जो बिन्दुओं $(-3, 1)$ तथा $(2, -2)$ से गुजरता है, है

दीर्घवृत्त  $25{x^2} + 9{y^2} - 150x - 90y + 225 = 0$ की उत्केन्द्रता  $e = $

एक मेहराव अर्ध-दीर्घवृत्ताकार रूप का है। यह $8$ मीटर चौड़ा और केंद्र से $2$ मीटर ऊँचा है। एक सिरे से $1.5$ मीटर दूर बिंदु पर मेहराव की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{27}} + {y^2} = 1$ के बिन्दु $(3\sqrt 3 \cos \theta ,\;\sin \theta )$ पर स्पर्श खींची गयी है। ( जहाँ $\theta  \in (0,\;\pi /2)$ तब $\theta $ के किस मान के लिए स्पर्श द्वारा अक्षों पर काटे गये अंत:खण्डो का योग न्यूनतम होगा