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माना कि $f, g:[-1,2] \rightarrow R$ संतत फलन है जो की अंतराल $(-1,2)$ में दो बार अवकलनीय (twice differentiable) है। माना कि $f$ और $g$ के मान, बिन्दुओं $-1,0$ और $2$ पर निम्न सारणी में दर्शाए गए है -
| $x=-1$ | $x=0$ | $x=2$ | |
| $f(x)$ | $3$ | $6$ | $0$ |
| $g(x)$ | $0$ | $1$ | $-1$ |
यदि प्रत्येक अंतराल $(-1,0)$ और $(0,2)$ में फलन $( f -3 g )$ " कभी भी शून्य का मान नही लेता है, तव सही कथन है (हैं)
$(A)$ $(-1,0) \cup(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के तीन ही हल (exactly three solutions) हैं
$(B)$ $(-1,0)$ में, $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ के एक ही हल (exactly one solutions) है
$(C)$ $(0,2)$ में, $f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ के एक ही हल (exactly one solution ) है
$(D)$ $f ^{\prime}( x )-3 g ^{\prime}( x )=0$ को $(-1,0)$ में दो ही हल (exactly two solutions) है और $(0,2)$ में दो ही हल है
$(A,B)$
$(B,D)$
$(A,D)$
$(B,C)$
Solution
Let $H(x)=f(x)-3 g(x)$
$H(-1)=H(0)=H(2)=3 \text {. }$
Applying Rolle's Theorem in the interval $[-1,0]$ $H^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-3 g^{\prime}(x)=0$ for atleast one $c \in(-1,0)$.
As $H ^{\prime \prime}( x )$ never vanishes in the interval
$\Rightarrow$ Exactly one $c \in(-1,0)$ for which $H^{\prime}(x)=0$
Similarly, apply Rolle's Theorem in the interval $[0,2]$.
$\Rightarrow H ^{\prime}( x )=0$ has exactly one solution in $(0,2)$
