फलन $y=x^{2}+2$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए, जब $a=-2$ तथा $b=2$ है।
फलन $y=x^{2}+2$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए, जब $a=-2$ तथा $b=2$ है।
The function $y=x^{2}+2$ is continuous in $[-2,2]$ and differentiable in $(-2,2).$
Also $f(-2)=f(2)=6$ and hence the value of $f(x)$ at $-2$ and $2$ coincide. Rolle's theorem states that there is a point $c \in(-2,2),$ where $f^{\prime}(c)=0 .$ Since $f^{\prime}(x)=2 x,$ we get $c=0 .$ Thus at $c=0,$ we have $f^{\prime}(c)=0$ and $c=0 \in(-2,2)$
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फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।:
$(i)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$
$(ii)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$
$(iii)$ $f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in[1,2]$
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$(i)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$
$(ii)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$
$(iii)$ $f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in[1,2]$
यदि फलनों $f(x)=\frac{x^3}{3}+2 b x+\frac{a x^2}{2}$ तथा $g(x)=\frac{x^3}{3}+a x+b x^2, a \neq 2 b$ का एक उभयानिष्ठ चरम बिन्दु है, तब $a+2 b+7$ बराबर है :
यदि फलनों $f(x)=\frac{x^3}{3}+2 b x+\frac{a x^2}{2}$ तथा $g(x)=\frac{x^3}{3}+a x+b x^2, a \neq 2 b$ का एक उभयानिष्ठ चरम बिन्दु है, तब $a+2 b+7$ बराबर है :
- [JEE MAIN 2023]
मान लीजिए कि $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow R , \psi_2:[0, \infty) \rightarrow R , f:[0, \infty) \rightarrow R$ और $g :[0, \infty) \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं कि
$f(0)=g(0)=0,$
$\psi_1( x )= e ^{- x }+ x , \quad x \geq 0,$
$\psi_2( x )= x ^2-2 x -2 e ^{- x }+2, x \geq 0,$
$f( x )=\int_{- x }^{ x }\left(|t|- t ^2\right) e ^{- t ^2} dt , x >0$
और
$g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} d t, x>0$
($1$) निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है ?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ प्रत्येक $x >1$ के लिए, एक ऐसा $\alpha \in(1, x )$ विद्यमान है जिसके लिए $\psi_1( x )=1+\alpha x$ है।
$(C)$ प्रत्येक $x >0$ के लिए, एक ऐसा $\beta \in(0, x )$ विद्यमान है जिसके लिए $\psi_2( x )=2 x \left(\psi_1(\beta)-1\right)$ है।
$(D)$ अंतराल $\left[0, \frac{3}{2}\right]$ में $f$ एक वर्धमान फलन (increasing function) है।
($2$) निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ सभी $x >0$ के लिए, $\psi_1( x ) \leq 1$ है।
$(B)$ सभी $x >0$ के लिए, $\Psi_2( x ) \leq 0$ है।
$(C)$ सभी $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए, $f( x ) \geq 1- e ^{- x ^2}-\frac{2}{3} x ^3+\frac{2}{5} x ^5$ है।
$(D)$ सभी $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए, $g ( x ) \leq \frac{2}{3} x ^3-\frac{2}{5} x ^5+\frac{1}{7} x ^7$ है।
मान लीजिए कि $\psi_1:[0, \infty) \rightarrow R , \psi_2:[0, \infty) \rightarrow R , f:[0, \infty) \rightarrow R$ और $g :[0, \infty) \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं कि
$f(0)=g(0)=0,$
$\psi_1( x )= e ^{- x }+ x , \quad x \geq 0,$
$\psi_2( x )= x ^2-2 x -2 e ^{- x }+2, x \geq 0,$
$f( x )=\int_{- x }^{ x }\left(|t|- t ^2\right) e ^{- t ^2} dt , x >0$
और
$g(x)=\int_0^{x^2} \sqrt{t} e^{-t} d t, x>0$
($1$) निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है ?
$(A)$ $f(\sqrt{\ln 3})+g(\sqrt{\ln 3})=\frac{1}{3}$
$(B)$ प्रत्येक $x >1$ के लिए, एक ऐसा $\alpha \in(1, x )$ विद्यमान है जिसके लिए $\psi_1( x )=1+\alpha x$ है।
$(C)$ प्रत्येक $x >0$ के लिए, एक ऐसा $\beta \in(0, x )$ विद्यमान है जिसके लिए $\psi_2( x )=2 x \left(\psi_1(\beta)-1\right)$ है।
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($2$) निम्न कथनों में से कौन सा सत्य है?
$(A)$ सभी $x >0$ के लिए, $\psi_1( x ) \leq 1$ है।
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$(C)$ सभी $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए, $f( x ) \geq 1- e ^{- x ^2}-\frac{2}{3} x ^3+\frac{2}{5} x ^5$ है।
$(D)$ सभी $x \in\left(0, \frac{1}{2}\right)$ के लिए, $g ( x ) \leq \frac{2}{3} x ^3-\frac{2}{5} x ^5+\frac{1}{7} x ^7$ है।
- [IIT 2021]
यदि फलन $f(x) = {x^3} - 6{x^2} + ax + b$ रौले प्रमेय को अंतराल $[1,\,3]$ में संतुष्ट करता है और $f'\left( {\frac{{2\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right) = 0$, तब $a =$ ..............
यदि फलन $f(x) = {x^3} - 6{x^2} + ax + b$ रौले प्रमेय को अंतराल $[1,\,3]$ में संतुष्ट करता है और $f'\left( {\frac{{2\sqrt 3 + 1}}{{\sqrt 3 }}} \right) = 0$, तब $a =$ ..............
यदि $f(x) = \cos x,0 \le x \le \frac{\pi }{2}$, तो मध्यमान प्रमेय की वास्तविक संख्या $ ‘c’$ है
यदि $f(x) = \cos x,0 \le x \le \frac{\pi }{2}$, तो मध्यमान प्रमेय की वास्तविक संख्या $ ‘c’$ है