फलन y=x^{2}+2 के लिए रोले के प्रमेय को सत्या?

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5. Continuity and Differentiation

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फलन $y=x^{2}+2$ के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए, जब $a=-2$ तथा $b=2$ है।

Option A

Option B

Option C

Option D

Solution

The function $y=x^{2}+2$ is continuous in $[-2,2]$ and differentiable in $(-2,2).$

Also $f(-2)=f(2)=6$ and hence the value of $f(x)$ at $-2$ and $2$ coincide. Rolle's theorem states that there is a point $c \in(-2,2),$ where $f^{\prime}(c)=0 .$ Since $f^{\prime}(x)=2 x,$ we get $c=0 .$ Thus at $c=0,$ we have $f^{\prime}(c)=0$ and $c=0 \in(-2,2)$

Standard 12

Mathematics

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जाँच कीजिए कि क्या रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलनों में से किन-किन पर लागू होता है। इन उदाहरणों से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?

$f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$

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फलन$f(x) = {x^3} – 6{x^2} + ax + b$ रोले प्रमेय की सभी शर्तो को अंतराल $[1, 3]$ में सन्तुष्ट करता है तब $ a $ और $ b$ के क्रमश: मान हैं

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यदि फलन $f(x) = a{x^3} + b{x^2} + 11x – 6$ रोले प्रमेय की शतोर्ं को अन्तराल $[1, 3]$ के लिए सन्तुष्ट करता है तथा $f'\left( {2 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = 0$, तब $a$ और $b$ के मान क्रमश: हैं

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यदि $f(x) = 2x – {x^2}$ के लिए अन्तराल $[0, 1]$ में लैगरांज प्रमेय सत्यापित है, तो $c$ का मान, जो कि $[0,\,1]$ में होगा, है

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फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।:

$(i)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[5,9]$

$(ii)$ $f(x)=[x]$ के लिए $x \in[-2,2]$

$(iii)$ $f(x)=x^{2}-1$ के लिए $x \in[1,2]$

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