फलन $f ( x )= x ^{3}-4 x ^{2}+8 x +11, x \in[0,1]$ के लिए लग्रांज मध्यमान प्रमेय में $c$ का मान है

मध्यमान प्रमेय $f(b) - f(a) = (b - a)f'(c)$ में यदि $a = 4$, $b = 9$ तथा $f(x) = \sqrt x $ हो, तो $c$  का मान है

अंतराल $ [0, 1] $ में लैंगरेंज मध्यमान प्रमेय निम्न में से किसके लिए लागू नहीं है

माना $f$ कोई फलन है जोकि $[ a , b ]$ में संतत तथा $( a , b )$ में दो बार अवकलनीय है। यदि सभी $x \in( a , b )$ के लिए $f^{\prime}( x ) > 0$ तथा $f^{\prime \prime}( x )<0$ हैं, तो किसी भी $c \in( a , b )$, के लिए $\frac{f( c )-f( a )}{f( b )-f( c )}$ निम्न में से किससे बड़ा है?

माना $\mathrm{f}:[2,4] \rightarrow \mathbb{R}$ एक अवकलनीय फलन है, जिसके लिए $\left(x \log _e x\right) f^{\prime}(x)+\left(\log _e x\right) f(x)+f(x) \geq 1$, $x \in[2,4], f(2)=\frac{1}{2}$ तथा $f(4)=\frac{1}{4}$ हैं।

निम्न दो कथनों का विचार कीजिए :

($A$) सभी $\mathrm{x} \in[2,4]$ के लिए $\mathrm{f}(\mathrm{x}) \leq 1$, है।

($B$) सभी $x \in[2,4]$ के लिए $f(x) \geq \frac{1}{8}$ है। तो

यदि फलन $f(x) = {x^3} - 6a{x^2} + 5x$ अन्तराल $ [1, 2]$  के लिए लेगराँज मध्यमान प्रमेय की शर्तों को सन्तुष्ट करता है और वक्र $y = f(x)$ की $x = \frac{7}{4}$ पर स्पर्श रेखा, वक्र की कोटियों $x = 1$ व $x = 2$ से प्रतिच्छेद बिन्दुओं को मिलाने वाली जीवा के समान्तर है, तब $a$ का मान है