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5. Continuity and Differentiation
normal
इस प्रश्न में $[x]$ वह अधिकतम पूर्णांक है जो दी गयी वास्तविक संख्या $x$ से कम या बराबर है। दिये गए फलन $f(x)=[x] \sin \pi x$ पर विचार करें। निम्नलिखित में से कौन सा कथन उचित है:
A
प्रत्येक वास्तविक संख्या $x$ पर $f$ अवकलनीय है
B
फलन $f$ के लेखाचित्र की एक सममित रेखा $x=0$ है
C
$\int_{-3}^3 f(x) d x=0$
D
प्रत्येक वास्तविक संख्या $\alpha$ के लिए, दिये गए समीकरण $f(x)-\alpha=0$ के अपरिमित शून्यक है
(KVPY-2014)
Solution
(d)
We have, $f(x)=[x] \sin \pi x$ Graph of $f(x)$ are
Clearly, $f(x)$ is not differentiable at $x=1$ $f(x)$ is not symmetric about line $x=0$
$\int \limits_{-3}^3 f(x) d x \neq 0$
$f(x)=\alpha$ will have infinite solutions.
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