- Home
- Standard 11
- Mathematics
8. Sequences and Series
normal
ધારો કે $S _{ n }=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\ldots n$ પદો સુધી. જો પ્રથમ પદ $- p$ તથા સામાન્ય તફાવત $p$ હોય તવી એક સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ નાં પ્રથમ છ પદોનો સરવાળો $\sqrt{2026 S_{2025}}$ હોય, તો સમાંતર શ્રેણીના $20^{\text {th }}$ માં અને $15^{\text {th }}$ મા પદોનો નિરપેક્ષ તફાવત_________છે.
A$25$
B$90$
C$20$
D$45$
(JEE MAIN-2025)
Solution
$Sn=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20} \ldots . N \text { terms }$
$S_{2025}=\sum_{n=1}^{2025} \frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{2025}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
$=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) \ldots .\left(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\right)$
$=\frac{2025}{2026}$
$\sqrt{2026 \cdot S_{2025}}=\sqrt{2025}=45$
$\text { Given : } \frac{6}{2}[-2 p +(6-1) p ]=45$
$9 p =45$
$p =5$
$\left|A_{20}- A _{15}\right|=|-5+19 \times 5|-[-5+14 \times 5]$
$=|90-65|$
$=25$
$S_{2025}=\sum_{n=1}^{2025} \frac{1}{n(n+1)}=\sum_{n=1}^{2025}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)$
$=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right) \ldots .\left(\frac{1}{2025}-\frac{1}{2026}\right)$
$=\frac{2025}{2026}$
$\sqrt{2026 \cdot S_{2025}}=\sqrt{2025}=45$
$\text { Given : } \frac{6}{2}[-2 p +(6-1) p ]=45$
$9 p =45$
$p =5$
$\left|A_{20}- A _{15}\right|=|-5+19 \times 5|-[-5+14 \times 5]$
$=|90-65|$
$=25$
Standard 11
Mathematics
