જો $a, b, c,d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો સાબિત કરો કે $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

It is given that $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$

$\therefore b^{2}=a c$       ........$(1)$

$c^{2}=b d$       ........$(2)$

$a d=b c$       ........$(3)$

It has to be proved that $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$ i.e.,

$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$

Consider $L.H.S.$

$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=b^{2 n}+2 b^{n} c^{n}+c^{2 n}$

$=\left(b^{2}\right)^{n}+2 b^{n} c^{n}+\left(c^{2}\right)^{n}$

$=(a c)^{n}+2 b^{n} c^{n}+(b d)^{n}$            [ Using $(1)$ and $(2)$ ]

$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} d^{n}$

$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+a^{n} d^{n}+b^{n} d^{n}$         [ Using $(3)$ ]

$=c^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)+d^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)$

$=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)=$ $\mathrm{R.H.S.}$

$\therefore\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)$

Thus, $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),$ and $\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$

Similar Questions

સમાંતર શ્રેણીમાં ત્રણ સંખ્યાઓ છે જેમનો સરવાળો $33$ અને ગુણાકાર $792$ થાય છે, તો આ સંખ્યામાંથી નાનામાં નાની સંખ્યા કઈ હશે ?

જો $a_1 , a_2, a_3, . . . . , a_n, ....$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે કે જેથી $a_4 - a_7 + a_{10}\, = m$ હોય તો પ્રથમ $13$ પદોનો સરવાળો ............ $\mathrm{m}$ મા મેળવો.

  • [JEE MAIN 2013]

ત્રણ ધન પુર્ણાકો $p, q, r \quad x^{p q^2}=y^{q r}=z^{p^2 r}$ અને $r = pq +1$ એવા છે કે જેથી $3,3 \log _y x, 3 \log _z y , 7 \log _x z$ સમાંતર શ્રેણીમાં (જ્યાં સામાન્ય તફાવત $\frac{1}{2}$ છે.) તો $r-p-q=..........$

  • [JEE MAIN 2023]

એક સમાંતર શ્રેણીનાં $n$ પદોનો સરવાળો $3 n^{2}+5 n$ અને $m$ મું પદ $164$ છે, તો $m$ નું મૂલ્ય શોધો.

જો $a, b, c $ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય, તો $(a + 2b - c) . (2b + c - a)(a + 2b + c) = ….$