જો $a, b, c,d$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં હોય, તો સાબિત કરો કે $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ સમગુણોત્તર શ્રેણીમાં છે.

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

It is given that $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$

$\therefore b^{2}=a c$       ........$(1)$

$c^{2}=b d$       ........$(2)$

$a d=b c$       ........$(3)$

It has to be proved that $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$ i.e.,

$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$

Consider $L.H.S.$

$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=b^{2 n}+2 b^{n} c^{n}+c^{2 n}$

$=\left(b^{2}\right)^{n}+2 b^{n} c^{n}+\left(c^{2}\right)^{n}$

$=(a c)^{n}+2 b^{n} c^{n}+(b d)^{n}$            [ Using $(1)$ and $(2)$ ]

$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} d^{n}$

$=a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+a^{n} d^{n}+b^{n} d^{n}$         [ Using $(3)$ ]

$=c^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)+d^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)$

$=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)=$ $\mathrm{R.H.S.}$

$\therefore\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)$

Thus, $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),$ and $\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$

Similar Questions

જો $\frac{1}{p+q},\,\frac{1}{r+p}\,\,$ અને $\frac{1}{q+r}\,$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોયતો.........

સમાંતર શ્રેણી $b_{1}, b_{2}, \ldots,$ $b_{ m }$ નો સામાન્ય તફાવત એ સમાંતર શ્રેણી $a _{1}, a _{2}, \ldots, a _{ n }$ ના સામાન્ય તફાવત કરતાં $2$ વધારે છે જો $a _{40}=-159, a _{100}=-399$ અને $b _{100}= a _{70},$ હોય તો  $b _{1}$ ની કિમત શોધો.

  • [JEE MAIN 2020]

આપેલ શ્રેણીનાં પ્રથમ પાંચ પદ શોધો અને સંબંધિત શ્રેઢી મેળવો : $a_{1}=a_{2}=2, a_{n}=a_{n-1}-1,$ માટે $n\,>\,2$

બે સમાંતર શ્રેણીઓનાં $n$ પદોના સરવાળાનો ગુણોત્તર $2n + 3 : 6n + 5$ હોય, તો તેના $13$ મા પદોનો ગુણોત્તર....... છે.

સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $3n^2 + 5n$ હોય અને $T_m = 164$ હોય તો $m = ….$