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14.Probability
hard
माना $X$ एक समुच्चय है जिसमें $n$ अवयव हैं। यदि इसके दो उपसमुच्चय $A$ व $B$ यदृच्छया चुन लिये जाते हैं, तो उनमें बराबर संख्या में अवयव होने की प्रायिकता है
A
$\frac{{^{2n}{C_n}}}{{{2^{2n}}}}$
B
$\frac{1}{{^{2n}{C_n}}}$
C
$\frac{{1\,.\,3\,.\,5......(2n - 1)}}{{{2^n}}}$
D
$\frac{{{3^n}}}{{{4^n}}}$
Solution
(a) हम जानते हैं कि $n$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चय ${2^n}$ होते हैं।
अत: $A$ व $B$ को चुनने के कुुल तरीके $={2^n}.$ ${2^n} = {2^{2n}}$
$X$ के कुल उपसमुच्चय जिनमें $r$ अवयव हैं ${}^n{C_r}$ होते हैं।
इसलिये $A$ व $B$ को जिनमें समान संख्या में अवयव हैं, के चुनने के कुल तरीके
${({}^n{C_0})^2} + {({}^n{C_1})^2} + {({}^n{C_2})^2} + \,…… + {({}^n{C_n})^2} = {}^{2n}{C_n}$
अत: अभीष्ट प्रायिकता $ = \frac{{{}^{2n}{C_n}}}{{{2^{2n}}}}.$
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