- Home
- Standard 12
- Mathematics
ધારો કે $ A$ એ વાસ્તવિક ઘટકો વાળો $2$$ \times $$2 $ શ્રેણિક છે. $I$ એ $2$$ \times $$2 $ એકમ શ્રેણિક છે. $A$ ના વિકર્ણીય ઘટકોનો સરવાળોને $tr$$A$ વડે દર્શાવાય તથા ${A^2} = I$ સ્વીકારી લો.
વિધાન $ 1: $ જો $A \ne I,A \ne - I$ તો $\det \left( A \right) = - 1$
વિધાન $2:$ જો $A \ne I,A \ne - I$ તો ${\rm{tr}}\left( A \right) \ne 0$
વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી નથી.
વિધાન $- 1$ ખોટું છે. વિધાન$- 2$ સાચું છે.
વિધાન $- 1$ સાચું છે, વિધાન $- 2$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ એ વિધાન$- 1$ ની સાચી સમજૂતી છે.
વિધાન $- 1$ સાચું છે. વિધાન $- 2$ ખોટું છે.
Solution
$A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right]$
${A^2} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right]$
$ = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{a^2} + bc}&{ab + bd}\\
{ac + cd}&{bc + {d^2}}
\end{array}} \right] = I$
${a^2} + bc = bc + {d^2} = 1$
$ac + cd = ab + bd = 0$
$ac + cd = ab + bd = 0$
$b\left( {a + d} \right) = 0$
$c = 0\;\:{\rm{or}}\;\:a = – d$ not possible for $c$
$b = 0\;\:{\rm{or}}\;\:a = – d$ not possible for $b$
$\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
a&b\\
c&d
\end{array}} \right| = ad – bc = – {d^2} – bc$
$ = – \left( {{d^2} + bc} \right) = – 1$
$tr\left( A \right) = a + d = a – a = 0$
