माना n और k धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि | vedclass

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Question

(a) ${x_1} + {x_2} + ... + {x_k} = n$ के हलों की संख्या

= $(t + {t^2} + {t^3} + ...)({t^2} + {t^3} + ...)....({t^k} + {t^{k + 1}} + ....)$ के प्रसा

Vedclass · Accepted Answer

$^m{C_{k - 1}}$

Vedclass · Answer

(a) ${x_1} + {x_2} + ... + {x_k} = n$ के हलों की संख्या

= $(t + {t^2} + {t^3} + ...)({t^2} + {t^3} + ...)....({t^k} + {t^{k + 1}} + ....)$ के प्रसार में $t$ का गुणांक

= ${t^{1 + 2 + ... + k}}{(1 + t + {t^2} + ...)^k}$ के प्रसार में ${t^n}$ का गुणांक

लेकिन $1 + 2 + ... + k = \frac{1}{2}k(k + 1) = r$ (माना)

एवं $1 + t + {t^2} + .... = \frac{1}{{(1 - t)}}$

अत: अभीष्ट हलों की संख्या

= ${(1 - t)^{ - k}}$ में ${t^{n - r}}$ का गुणांक

= $[1 + {\,^k}{C_1}t + {\,^{k + 1}}{C_2}{t^2} + {\,^{k + 2}}{C_3}{t^3} + ...]$ में ${t^{n - r}}$ का गुणांक

$ = {\,^{k + n - r - 1}}{C_{k - 1}}$$ = {\,^{k + n - r - 1}}{C_{k - 1}} = {\,^m}{C_{k - 1}}$,(जहाँ $m = k + n - r - 1$)

$ = k + n - 1 - \frac{1}{2}k(k + 1) = \frac{1}{2}[2k + 2n - 2 - {k^2} - k]$

$ = \frac{1}{2}(2n - {k^2} + k - 2)$

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