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माना $n$ और $k$ धनात्मक पूर्णांक इस प्रकार हैं कि $n \ge \frac{{k(k + 1)}}{2}$. ${x_1} + {x_2} + .... + {x_k} = n$ को सन्तुष्ट करने वाले हलों $({x_1},{x_2},....{x_k})$, जहाँ ${x_1} \ge 1,{x_2} \ge 2,....{x_k} \ge k,$ तथा सभी पूर्णांक हैं, की संख्या है
$^m{C_{k - 1}}$
$^m{C_{k + 1}}$
$^m{C_k}$
इनमें से कोई नहीं {जहाँ $m = \frac{1}{2}(2n - {k^2} + k - 2)$}
Solution
(a) ${x_1} + {x_2} + … + {x_k} = n$ के हलों की संख्या
= $(t + {t^2} + {t^3} + …)({t^2} + {t^3} + …)….({t^k} + {t^{k + 1}} + ….)$ के प्रसार में $t$ का गुणांक
= ${t^{1 + 2 + … + k}}{(1 + t + {t^2} + …)^k}$ के प्रसार में ${t^n}$ का गुणांक
लेकिन $1 + 2 + … + k = \frac{1}{2}k(k + 1) = r$ (माना)
एवं $1 + t + {t^2} + …. = \frac{1}{{(1 – t)}}$
अत: अभीष्ट हलों की संख्या
= ${(1 – t)^{ – k}}$ में ${t^{n – r}}$ का गुणांक
= $[1 + {\,^k}{C_1}t + {\,^{k + 1}}{C_2}{t^2} + {\,^{k + 2}}{C_3}{t^3} + …]$ में ${t^{n – r}}$ का गुणांक
$ = {\,^{k + n – r – 1}}{C_{k – 1}}$$ = {\,^{k + n – r – 1}}{C_{k – 1}} = {\,^m}{C_{k – 1}}$,(जहाँ $m = k + n – r – 1$)
$ = k + n – 1 – \frac{1}{2}k(k + 1) = \frac{1}{2}[2k + 2n – 2 – {k^2} – k]$
$ = \frac{1}{2}(2n – {k^2} + k – 2)$
