यदि {(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} | vedclass

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Question

${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2}.... + {C_n}{x^n}$

${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {C_0} + {C_1}.\frac{1}{x} + {C_2}.\frac{1}{{{x

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{(2n)!}}{{(n - 2)!(n + 2)!}}$

Vedclass · Answer

${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2}.... + {C_n}{x^n}$

${\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)^n} = {C_0} + {C_1}.\frac{1}{x} + {C_2}.\frac{1}{{{x^2}}} + ... + {C_n}\left( {\frac{1}{{{x^n}}}} \right)$

दोनों प्रसारों का गुणा करने पर

$\frac{{{{(1 + x)}^{2n}}}}{{{x^n}}} = \sum {C_0^2 + x\sum {{C_0}{C_1} + {x^2}\sum {{C_0}{C_2} + ....} } } $

$ + {x^r}\sum {{C_0}{C_r} + .....} $

$\frac{{{{(1 + x)}^{2n}}}}{{{x^n}}}$ के बायें पक्ष में $\sum {C_0^2 + x\sum {{C_0}{C_1} + {x^2}\sum {{C_0}{C_2} + ....} \sum {{C_0}{C_r}} } } $${x^0},x,{x^2},.....,{x^r}$ के गुणांक हैं या ${(1 + x)^{2n}}$ के प्रसार में ${x^n},{x^{n + 1}},{x^{n + 2}},.....,{x^{n + r}}$ के गुणांक हैं जो कि ${T_{n + 1,}}{T_{n + 2}},....$ से प्राप्त होते हैं व $^{2n}{C_n}{,^{2n}}{C_{n + 1}}{,^{2n}}{C_{n + 2}}{....^{2n}}{C_{n + r}}$ हैं।

$^{\,2n}{C_{n + 2}} = \frac{{(2\,n\,)\,!}}{{(n - 2)\,!\,(n + 2)\,!}}$

यदि ${(1 + x)^n} = {C_0} + {C_1}x + {C_2}{x^2} + .... + {C_n}{x^n}$, तब ${C_0}{C_2} + {C_1}{C_3} + {C_2}{C_4} + {C_{n - 2}}{C_n}$ का मान होगा

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$\left( {\begin{array}{{20}{c}}n\\0\end{array}} \right) + 2\,\left( {\begin{array}{{20}{c}}n\\1\end{array}} \right) + {2^2}\left( {\begin{array}{{20}{c}}n\\2\end{array}} \right) + ..... + {2^n}\left( {\begin{array}{{20}{c}}n\\n\end{array}} \right)$ का मान होगा

$^{4n}{C_0}{ + ^{4n}}{C_4}{ + ^{4n}}{C_8} + ....{ + ^{4n}}{C_{4n}}$ का मान है

$\sum \limits_{\substack{i, j=0 \\ i \neq j}}^{ n }{ }^n C_i{ }^n C_j$ बराबर है :

श्रेणी $\sum\limits_{r = 0}^n {{{( - 1)}^r}\,{\,^n}{C_r}\left( {\frac{1}{{{2^r}}} + \frac{{{3^r}}}{{{2^{2r}}}} + \frac{{{7^r}}}{{{2^{3r}}}} + \frac{{{{15}^r}}}{{{2^{4r}}}} + .....m\,inksa rd } \right)} $ का योगफल है

यदि ${(x - 2y + 3z)^n}$ के विस्तार में $45$ पद हैं, तब $n=$