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4-1.Complex numbers
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माना $v=|z|^2+|z-3|^2+|z-6 i|^2, z \in C$ का न्यूनतम मान $z = z _0$ पर प्राप्त होता है। तब $\left|2 z_0^2-\bar{z}_0^3+3\right|^2+v_0^2$ बराबर है
A
$1000$
B
$1024$
C
$1105$
D
$1196$
(JEE MAIN-2022)
Solution
$z_{0} =\left(\frac{0+3+0}{3}, \frac{0+6+0}{3}\right)=(1,2)$
$v_{0}=|1+2 i|^{2}+|1+2 i-3|^{2}+|1+2 i-6 i|^{2}=30$
$\text { Then }\left|2 z_{0}^{2}-\bar{z}_{0}^{3}+3\right|^{2}+v_{0}^{2}$
$=\left|2(1+2 i)^{2}-(1-2 i)^{3}+3\right|^{2}+900$
$=|2(1-4+4 i)-(1-4-4 i)(1-2 i)+3|^{2}+900$
$=|8+6 i|^{2}+900=100+900=1000$
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