નીચે આપેલા સમાન રીતે વિધુતભારિત ઉદ્ભવતાં વિધુતક્ષેત્રનું સૂત્ર મેળવો.

$(i)$ અનંત સમતલ વડે

$(ii)$ પાતળી ગોળાકાર કવચને લીધે તેની બહારના બિંદુએ

$(iii)$ પાતળી ગોળાકાર કવચના લીધે તેની અંદરના બિંદુએ

$(i)$ અનંત સમતલ વડે

સમાન રીતે વિધુતભારિત એવા અનંત સમતલ પર વિદ્યુતભારની પૃષ્ઠધનતા $\sigma$ ધારે.

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે સમતલને લંબરૂપે $x-$અક્ષ લો.તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $y$ અને $z$ યામો પર આધારિત નથી.તે $x$-દિશાને સમાંતર હોવું જોઈએ.

ગોસિયન સપાટી તરીકે $A$ આડછેદના ક્ષેત્રફળવાળો સમઘન લઈ શકીએ.

આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે ફક્ત $1$ અને $2$ વડે દર્શાવેલ સપાટી વડે જ ફલક્સ મળી શકશે પણ બાકીની સપાટીઓ વિદ્યુતક્ષેત્ર રેખાને સમાંતર હોવાથી તેમાંથી પસાર થતું ફલક્સ શૂન્ય થશે.

સપાટી $1$ ને લંબ એકમ સદિશ $-x-$દિશામાં અને સપાટીને લંબ એક્મ સદીશ $+x-$દિશામાં છે અને બંને સપાટીઓ માંથી પસાર થતું ફલક્સ $\overrightarrow{ E } \cdot \overrightarrow{\Delta S }$ સમાન છે.તથા કુલ ફલક્સ માટે સરવાળો કરવો પડે.

ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ ફલક્સ $2EA$ છે અને બંધ સપાટી વડે ઘેરાતો વિદ્યુતભાર = $\sigma A$ છે.

ગોસના નિયમ મુજબ,

$2 EA =\frac{\sigma A }{\epsilon_{0}}$

$\therefore E =\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}}$

સદિશ સ્વરૂપમાં,

$\overrightarrow{ E }=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} \cdot \hat{n}$

જ્યાં $\hat{n}$ એ સમતલને લંબ અને સમતલથી દૂર તરફ જતો એક્મ સદિશ છે.

સમાન રીતે વિદ્યુતભારિત અનંત સમતલ વકે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર, સમતલથી અંતર પર આધારિત નથી.

મોટા સીમિત સમતલ માટે, સમતલના છેડાઓથી દૂર એટલે કે સમતલના મધ્યભાગમાં $\overrightarrow{ E }=\frac{\sigma}{2 \epsilon_{0}} \cdot \hat{n}$ સનિક્ટ રીતે સાચું છે.

$(ii)$ પાતળી ગોળાકાર કવચને લીધે તેની બહારના બિંદુએ

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ R ત્રિજ્યાની પાતળી ગોળાકાર કવચ પર વિદ્યુતભારની સમાન પૃષ્ઠ ધનતા $\sigma$ છે.

કવચની બહાર $r$ અંતરે રહેલું બિદુ $P$ છે. $P$ પાસેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર શોધવા $P$ માંથી પસાર થતાં અને $r$ ત્રિજ્યાના ગોળાની સપાટીને ગોસિયન સપાટી તરીકે લઈએ, તો ગોળાની સપાટી પરના બધા બિદુઓ સમતુલ્ય છે તેથી વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન છે અને દરેક બિદું ત્રિજ્યા સદિશ પર છે.

આથી દરેક બિંદુએ $\overrightarrow{ E }$ અને ક્ષેત્રફળ $\overrightarrow{\Delta S }$ સમાંતર છે. તેથી દરેક નાના ક્ષેત્રફળ ખંડમાંથી પસાર થતું ફલક્સ, $= E \Delta S \cos 0^{\circ}= E \Delta S$

$\therefore$ ગોળાની સપાટી પરના બધા બિદુઓમાંથી પસાર થતાં ફલક્સનો સરવાળો કરતાં કુલ ફલક્સ મળે.

$\therefore$ કુલ ફલક્સ,

$\phi =\sum_{\Delta S } E \Delta S$

$\therefore \phi = ES$ જ્યાં $\Sigma \Delta S = S$

$\therefore \phi= F \times 4 \pi r^{2}(\because S=4 \pi r^{2})$

$\therefore$ ગોસના નિયમ પરથી,

$\phi=\frac{q}{\epsilon_{0}}=\frac{\sigma \times 4 \pi R ^{2}}{\epsilon_{0}} \quad(\because q=\sigma A )$

$\therefore E \times 4 \pi r^{2}=\frac{4 \pi R ^{2} \sigma}{\epsilon_{0}}$

$\therefore E =\frac{\sigma R ^{2}}{\epsilon_{0} r^{2}}$

$\sigma=\frac{q}{4 \pi R ^{2}}$ મૂક્તાં

$E =\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}}$ અથવા $\frac{k q}{r^{2}}$ અને $\overrightarrow{ E }=\frac{q}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}} \cdot \hat{r}$

$(iii)$ પાતળી ગોળાકાર કવચના લીધે તેની અંદરના બિંદુએ

આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $R$ ત્રિજ્યાની ગોળકાર કવચ પર વિદ્યુતભારની સમાન પૃષ્ઠધનતા $\sigma$ છે.

કવચની અંદર કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલું $P$ બિદુ છે. તેની અંદર $r$ ત્રિજ્યાનું ગોળાકાર ગોસિયન સપાટી છે. ગોસિયન સપાટીમાંથી પસાર થતું ફલક્સ $E \times 4 \pi r^{2}$ છે પણ ગોસિયન પૃષ્ઠ વડે કોઈ વિદ્યુતભાર ઘેરાતો નથી.

ગોસના નિયમ મુજબ,

$E \times 4 \pi r^{2}=0$

$\therefore E =0 \quad(r < R$ માટે$)$

આમ, વિદ્યુતભારિત પાતળી ગોળાકાર કવચના લીધે કવચની અંદર બધા બિદુઓએ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.