વિધુતભારિત ગોળાની બહારના વિસ્તારમાં ગાઉસના પ્રમેય પરથી વિધુતક્ષેત્રનું સૂત્ર મેળવો.
વિધુતભારિત ગોળાની બહારના વિસ્તારમાં ગાઉસના પ્રમેય પરથી વિધુતક્ષેત્રનું સૂત્ર મેળવો.
આકૃતિમાં દર્શાવ્યા પ્રમાણે વિદ્યુતભાર ધનતા $\rho$ ધરાવો $R$ ત્રિજ્યાનો ગોળો ધ્યાનમાં લો. આવા ગોળાના લીધે ઉદ્ભવતું વિદ્યુતક્ષેત્ર ત્રિજ્યાવર્તી હોય છે.
ગોળા પરનો કુલ વિદ્યુતભાર $Q =\frac{4}{3} \pi R ^{3} \rho$ છે.
જેનું કેન્દ્ર ગોળાન કેન્દ્ર પર સંપાત થતું હોય તેવું $r> R$ ત્રિજ્યાનું ગોળાકાર ગાઉસિયન પૃષ્ઠ $S _{2}$ વિચારો. આ ગાઉસિયન પૃષ્ઠથી ધેરાતો વિદ્યુતભાર
$q=\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$
અને આ પૃષ્ઠ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ,
$\phi=\int \overrightarrow{ E } \cdot d \vec{a}=\int E d a \cos 0^{\circ}$
$\therefore \phi= E \int d a$
$\therefore \phi= E \times 4 \pi r^{2}$$\ldots (2)$
ગાઉસના પ્રમેય પરથી,
$\phi=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$
સમી.$(2)$ અને $(3)$ પરથી,
$E \times 4 \pi r^{2}=\frac{q}{\varepsilon_{0}}$
$\therefore E \times 4 \pi r^{2}=\frac{4}{3} \times \frac{\pi R ^{3} \rho}{\varepsilon_{0}} \quad$ (સમી.$(1)$ અને સમી.$(2)$ પરથી)
$\therefore E =\frac{\rho}{3 \varepsilon_{0}} \times \frac{ R ^{3}}{r^{2}}$$\ldots (4)$
Similar Questions
પરમાણુ માટેના પ્રારંભિક મોડેલમાં, $Ze$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું ધન વિધુતભારિત બિંદુવતુ ન્યુક્લિયસ તેની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યા સુધી નિયમિત ઘનતાના ઋણ વિધુતભાર વડે ઘેરાયેલું છે. સમગ્રપણે પરમાણુ તટસ્થ છે. આ મૉડેલ માટે ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
પરમાણુ માટેના પ્રારંભિક મોડેલમાં, $Ze$ વિદ્યુતભાર ધરાવતું ધન વિધુતભારિત બિંદુવતુ ન્યુક્લિયસ તેની આસપાસ $R$ ત્રિજ્યા સુધી નિયમિત ઘનતાના ઋણ વિધુતભાર વડે ઘેરાયેલું છે. સમગ્રપણે પરમાણુ તટસ્થ છે. આ મૉડેલ માટે ન્યુક્લિયસથી $r$ અંતરે વિધુતક્ષેત્ર કેટલું હશે ?
$\rho(r)=\left\{\begin{array}{ll}\rho_{0}\left(\frac{3}{4}-\frac{r}{R}\right) & \text { for } r \leq R \\ \text { Zero } & \text { for } r>R\end{array}\right.$
અનુસાર બદલાતી ગોલીય સંમિત વિદ્યુતભાર વહેંચણી વિચારો,જ્યાં $r ( r < R )$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે (આકૃતિ જુઓ) $P$ બિંદુ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $......$ હશે.
$\rho(r)=\left\{\begin{array}{ll}\rho_{0}\left(\frac{3}{4}-\frac{r}{R}\right) & \text { for } r \leq R \\ \text { Zero } & \text { for } r>R\end{array}\right.$
અનુસાર બદલાતી ગોલીય સંમિત વિદ્યુતભાર વહેંચણી વિચારો,જ્યાં $r ( r < R )$ એ કેન્દ્રથી અંતર છે (આકૃતિ જુઓ) $P$ બિંદુ આગળ વિદ્યુતક્ષેત્ર $......$ હશે.
- [JEE MAIN 2022]
પોલા વાહક ગોળાની સપાટી પર $10\,\mu C$ વિધુતભાર આપવામાં આવે છે. જો ત્રિજ્યા $2\, m$ હોય, તો કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલા........$\mu \,C{m^{ - 2}}$ થાય?
પોલા વાહક ગોળાની સપાટી પર $10\,\mu C$ વિધુતભાર આપવામાં આવે છે. જો ત્રિજ્યા $2\, m$ હોય, તો કેન્દ્ર પર વિદ્યુતક્ષેત્ર કેટલા........$\mu \,C{m^{ - 2}}$ થાય?
- [AIPMT 1998]
દરેક પ્લેટની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\mathrm{S}$ હોય તેવી બે સમાન વાહક પ્લેટો $\alpha $ અને $\beta $ જડિત કરેલી છે અને તેમના પર અનુક્રમે $-\mathrm{q}$ અને $\mathrm{q}$ વિધુતભાર છે. જ્યાં $Q{\rm{ }}\, > \,{\rm{ }}q{\rm{ }}\, > \,{\rm{ }}0.$ એક ત્રીજી પ્લેટ $\gamma $ ને આ બે પ્લેટોની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે તે મુક્ત રીતે ગતિ કરી શકે છે તથા તેના પર $\mathrm{q}$ વિધુતભાર છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે. ત્રીજી પ્લેટને મુક્ત કરતાં તે $\beta $ પ્લેટ સાથે અથડાય છે. એવું ધારવામાં આવે છે કે અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે અને $\beta $ અને $\gamma $ પ્લેટો પરના વિધુતભારને વહેંચાવા માટે અથડામણો વચ્ચેનો પૂરતો સમય છે.
$(a)$ અથડામણ પહેલા $\gamma $ પ્લેટ પર લાગતું વિધુતક્ષેત્ર શોધો.
$(b)$ અથડામણ બાદ $\beta $ અને $\gamma $ પ્લેટો પરના વિધુતભાર શોધો.
$(c)$ અથડામણ પછી $\gamma $ પ્લેટનો $\mathrm{B}$ પ્લેટથી $\mathrm{d}$ અંતરે હોય ત્યારનો વેગ શોધો.
દરેક પ્લેટની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\mathrm{S}$ હોય તેવી બે સમાન વાહક પ્લેટો $\alpha $ અને $\beta $ જડિત કરેલી છે અને તેમના પર અનુક્રમે $-\mathrm{q}$ અને $\mathrm{q}$ વિધુતભાર છે. જ્યાં $Q{\rm{ }}\, > \,{\rm{ }}q{\rm{ }}\, > \,{\rm{ }}0.$ એક ત્રીજી પ્લેટ $\gamma $ ને આ બે પ્લેટોની વચ્ચે મૂકવામાં આવે છે તે મુક્ત રીતે ગતિ કરી શકે છે તથા તેના પર $\mathrm{q}$ વિધુતભાર છે જે આકૃતિમાં દર્શાવ્યું છે. ત્રીજી પ્લેટને મુક્ત કરતાં તે $\beta $ પ્લેટ સાથે અથડાય છે. એવું ધારવામાં આવે છે કે અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે અને $\beta $ અને $\gamma $ પ્લેટો પરના વિધુતભારને વહેંચાવા માટે અથડામણો વચ્ચેનો પૂરતો સમય છે.
$(a)$ અથડામણ પહેલા $\gamma $ પ્લેટ પર લાગતું વિધુતક્ષેત્ર શોધો.
$(b)$ અથડામણ બાદ $\beta $ અને $\gamma $ પ્લેટો પરના વિધુતભાર શોધો.
$(c)$ અથડામણ પછી $\gamma $ પ્લેટનો $\mathrm{B}$ પ્લેટથી $\mathrm{d}$ અંતરે હોય ત્યારનો વેગ શોધો.
એક અનંત લંબાઈનો રેખીય વિદ્યુતભાર $2 \,cm$ અંતરે $9 \times 10^4 \;N/C$ વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ($\mu C / m$ માં) ગણો.
એક અનંત લંબાઈનો રેખીય વિદ્યુતભાર $2 \,cm$ અંતરે $9 \times 10^4 \;N/C$ વિદ્યુતક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. રેખીય વિદ્યુતભાર ઘનતા ($\mu C / m$ માં) ગણો.