સાબિત કરો કે $\left|\begin{array}{ccc}1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c\end{array}\right|=a b c\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=a b c+b c+c a+a b$
સાબિત કરો કે $\left|\begin{array}{ccc}1+a & 1 & 1 \\ 1 & 1+b & 1 \\ 1 & 1 & 1+c\end{array}\right|=a b c\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)=a b c+b c+c a+a b$
Taking out factors $a, b, c$ common from $\mathrm{R}_{1}, \mathrm{R}_{2}$ and $\mathrm{R}_{3},$ we get
$\text { L.H.S. }=a b c\left|\begin{array}{ccc}
\frac{1}{a}+1 & \frac{1}{a} & \frac{1}{a} \\
\frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\
\frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1
\end{array}\right|$
Applying $\mathrm{R}_{1} \rightarrow \mathrm{R}_{1}+\mathrm{R}_{2}+\mathrm{R}_{3},$ we have
$\Delta=a b c\left|\begin{array}{ccc}
1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} & 1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \\
\frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\
\frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1
\end{array}\right|$
$=a b c\left(1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
\frac{1}{b} & \frac{1}{b}+1 & \frac{1}{b} \\
\frac{1}{c} & \frac{1}{c} & \frac{1}{c}+1
\end{array}\right|$
Now applying $\mathrm{C}_{2} \rightarrow \mathrm{C}_{2}-\mathrm{C}_{1}, \mathrm{C}_{3} \rightarrow \mathrm{C}_{3}-\mathrm{C}_{1},$ we get
$\Delta = \operatorname{abc} \left( {1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}
1&0&0 \\
{\frac{1}{b}}&1&0 \\
{\frac{1}{c}}&0&1
\end{array}} \right|$
$ = abc\left( {1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)[1(1 - 0)]$
$ = abc\left( {1 + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right)$
$ = abc + bc + ca + ab = {\text{R}}.{\text{H}}.{\text{S}}$
Similar Questions
જો સંખ્યાઓ $2, b, c$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1 \\
2&b&c \\
4&{{b^2}}&{{c^2}}
\end{array}} \right]$ છે જો $det(A) \in [2,16]$ તો $c$ ની કિમંત .. . . અંતરાલ માં આવેલી છે .
જો સંખ્યાઓ $2, b, c$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
1&1&1 \\
2&b&c \\
4&{{b^2}}&{{c^2}}
\end{array}} \right]$ છે જો $det(A) \in [2,16]$ તો $c$ ની કિમંત .. . . અંતરાલ માં આવેલી છે .
- [JEE MAIN 2019]
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી અને વિસ્તરણ કર્યા સિવાય સાબિત કરો : $\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0$
નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરી અને વિસ્તરણ કર્યા સિવાય સાબિત કરો : $\left|\begin{array}{lll}a-b & b-c & c-a \\ b-c & c-a & a-b \\ c-a & a-b & b-c\end{array}\right|=0$
જો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&x&y\\{z + x}&z&x\\{x + y}&y&z\end{array}\,} \right| = k(x + y + z){(x - z)^2}$, તો $k = $
જો $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&x&y\\{z + x}&z&x\\{x + y}&y&z\end{array}\,} \right| = k(x + y + z){(x - z)^2}$, તો $k = $
જો $a,b,c$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય , તો $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + x}&{ab}&{ac}\\{ab}&{{b^2} + x}&{bc}\\{ac}&{bc}&{{c^2} + x}\end{array}\,} \right|$ એ . . . વડે વિભાજ્ય છે.
જો $a,b,c$ એ ધન પૂર્ણાંક હોય , તો $\Delta = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} + x}&{ab}&{ac}\\{ab}&{{b^2} + x}&{bc}\\{ac}&{bc}&{{c^2} + x}\end{array}\,} \right|$ એ . . . વડે વિભાજ્ય છે.
જો ${U_n} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}n&1&5\\{{n^2}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{{n^3}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}\,} \right|$ તો $\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n},} $ મેળવો.
જો ${U_n} = \left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}n&1&5\\{{n^2}}&{2N + 1}&{2N + 1}\\{{n^3}}&{3{N^2}}&{3N}\end{array}\,} \right|$ તો $\sum\limits_{n = 1}^N {{U_n},} $ મેળવો.