यदि किसी समांतर श्रेणी के प्रथम $p, q, r$ पदों का योगफल क्रमशः $a, b$ तथा $c$ हो तो सिद्ध कीजिए कि
$\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$
Let $a_{1}$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively According to the given information,
$S_{p}=\frac{p}{2}\left[2 a_{1}+(p-1) d\right]=a$ .........$(1)$
$\Rightarrow 2 a_{1}+(p-1) d=\frac{2 a}{p}$
$S_{q}=\frac{q}{2}\left[2 a_{1}+(q-1) d\right]=b$ ............$(2)$
$S_{r}=\frac{r}{2}\left[2 a_{1}+(r-1) d\right]=c$
$\Rightarrow 2 a_{1}+(r-1) d=\frac{2 c}{r}$ ............$(3)$
Subtracting $(2)$ from $(1),$ we obtain
$(p-1) d-(q-1) d=\frac{2 a}{p}-\frac{2 b}{q}$
$\Rightarrow d(p-1-q+1)=\frac{2 a q-2 b p}{p q}$
$\Rightarrow d(p-q)=\frac{2 a q-2 b p}{p q}$
$\Rightarrow d=\frac{2(a q-b p)}{p q(p-q)}$ ..........$(4)$
Subtracting $(3)$ from $(2),$ we obtain
$(q-1) d-(r-1) d=\frac{2 b}{q}-\frac{2 c}{r}$
$\Rightarrow d(q-1-r+1)=\frac{2 b}{q}-\frac{2 c}{r}$
$\Rightarrow d(q-r)=\frac{2 b r-2 q c}{q r}$
$\Rightarrow d=\frac{2(b r-q c)}{q r(q-r)}$ ...........$(5)$
Equating both the values of $d$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain
$\frac{a q-b p}{p q(p-q)}=\frac{b r-q c}{q r(q-r)}$
$\Rightarrow q r(q-r)(a q-b q)=p q(q-q)(b r-q c)$
$\Rightarrow r(a q-b p)(q-r)=p(b r-q c)(p-q)$
$\Rightarrow(a q r-b p r)(q-r)=(b p r-p q c)(p-q)$
Dividing both sides by $pqr,$ we obtain
$\left(\frac{a}{p}-\frac{b}{q}\right)(q-r)=\left(\frac{b}{q}-\frac{c}{r}\right)(p-q)$
$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)-\frac{b}{q}(q-r+p-q)+\frac{c}{r}(p-q)=0$
$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$
Thus, the given result is proved.
श्रेणी $2,\,5,\,8...$ के प्रथम $2n$ पदों का योग, श्रेणी $57,\,59,\,61...$ के प्रथम $n$ पदों के योग के बराबर हो तो $n$ का मान होगा
यदि किसी समान्तर श्रेणी के $n$ पदों का योगफल $nA + {n^2}B$, जहाँ $A,B$ नियतांक हैं, है। तो इनका सार्वअन्तर होगा
माना $\left(\frac{1}{\sqrt{6}}+\beta x\right)^4,(1-3 \beta x)^2$ तथा $\left(1-\frac{\beta}{2} x \right)^6, \beta > 0$ के प्रसार में मध्य पदों के गुणांक क्रमश: एक $A.P.$ के पहले तीन पद हैं। यदि इस $A.P.$ का सार्व अंतर $d$ है, तो $50-\frac{2 d }{\beta^2}$ बराबर है
अनुक्रम के पाँच पद लिखिए तथा संगत श्रेणी ज्ञात कीजिए
$a_{1}=a_{2}=2, a_{n}=a_{n-1}-1,$ जहाँ $n>2$
किसी समान्तर श्रेणी के प्रथम तथा तृतीय पदों का योग $12$ है, तथा प्रथम व द्वितीय पदों का गुणनफल $24$ है, तब श्रेणी का प्रथम पद होगा