એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $p, q$ અને $r$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ છે. સાબિત કરો કે $\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$

Vedclass pdf generator app on play store
Vedclass iOS app on app store

Let $a_{1}$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively According to the given information,

$S_{p}=\frac{p}{2}\left[2 a_{1}+(p-1) d\right]=a$         .........$(1)$

$\Rightarrow 2 a_{1}+(p-1) d=\frac{2 a}{p}$

$S_{q}=\frac{q}{2}\left[2 a_{1}+(q-1) d\right]=b$          ............$(2)$

$S_{r}=\frac{r}{2}\left[2 a_{1}+(r-1) d\right]=c$

$\Rightarrow 2 a_{1}+(r-1) d=\frac{2 c}{r}$            ............$(3)$

Subtracting $(2)$ from $(1),$ we obtain

$(p-1) d-(q-1) d=\frac{2 a}{p}-\frac{2 b}{q}$

$\Rightarrow d(p-1-q+1)=\frac{2 a q-2 b p}{p q}$

$\Rightarrow d(p-q)=\frac{2 a q-2 b p}{p q}$

$\Rightarrow d=\frac{2(a q-b p)}{p q(p-q)}$        ..........$(4)$

Subtracting $(3)$ from $(2),$ we obtain 

$(q-1) d-(r-1) d=\frac{2 b}{q}-\frac{2 c}{r}$

$\Rightarrow d(q-1-r+1)=\frac{2 b}{q}-\frac{2 c}{r}$

$\Rightarrow d(q-r)=\frac{2 b r-2 q c}{q r}$

$\Rightarrow d=\frac{2(b r-q c)}{q r(q-r)}$           ...........$(5)$

Equating both the values of $d$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain

$\frac{a q-b p}{p q(p-q)}=\frac{b r-q c}{q r(q-r)}$

$\Rightarrow q r(q-r)(a q-b q)=p q(q-q)(b r-q c)$

$\Rightarrow r(a q-b p)(q-r)=p(b r-q c)(p-q)$

$\Rightarrow(a q r-b p r)(q-r)=(b p r-p q c)(p-q)$

Dividing both sides by $pqr,$ we obtain

$\left(\frac{a}{p}-\frac{b}{q}\right)(q-r)=\left(\frac{b}{q}-\frac{c}{r}\right)(p-q)$

$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)-\frac{b}{q}(q-r+p-q)+\frac{c}{r}(p-q)=0$

$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$

Thus, the given result is proved.

Similar Questions

ધારોકે $\alpha, \beta$ અને $\gamma$ ત્રણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. ધારોકે $f(x)=\alpha x^{5}+\beta x^{3}+\gamma x, x \in R$ અને $g: R \rightarrow R$ એવું છે કે જેથી પ્રત્યેક $x \in R$ માટે $g(f(x))=x$ થાય. ને $a _{1}, a _{2}, a _{3}, \ldots, a _{ n }$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય અને તેનો મધ્યક શૂન્ય હોય, તો $f\left(g\left(\frac{1}{ n } \sum_{i=1}^{ n } f\left( a _{i}\right)\right)\right)$ ની કિંમત .............. છે.

  • [JEE MAIN 2022]

જો $a, b$ અને $c$ એ સમાંતર શ્રેણીનાં અનુક્રમે પ્રથમ, દ્વિતીય અને અંતિમ પદ હોય, તો આ પદની કુલ સંખ્યા...... છે.

${S_1},{S_2},......,{S_{101}}$ એ કોઈ સમાંતર શ્રેણીના ક્રમિક પદો છે જો $\frac{1}{{{S_1}{S_2}}} + \frac{1}{{{S_2}{S_3}}} + .... + \frac{1}{{{S_{100}}{S_{101}}}} = \frac{1}{6}$ અને ${S_1} + {S_{101}} = 50$ ,હોય તો $\left| {{S_1} - {S_{101}}} \right|$ ની કિમત મેળવો 

જો $a _{1}, a _{2}, a _{3} \ldots$ અને $b _{1}, b _{2}, b _{3} \ldots$ એ સમાંતર શ્રેણી મા હોય તથા $a_{1}=2, a_{10}=3, a_{1} b_{1}=1=a_{10} b_{10}$ હોય,તો $a_{4} b_{4}=\dots$

  • [JEE MAIN 2022]

જો ચતુષ્કોણના બધા અંતર્ગત ખૂણાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં અને તેમની વચ્ચેનો સામાન્ય તફાવત $10^o$ હોય તો ન્યૂનતમ ખૂણો ............$^o$ થાય ?