એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $p, q$ અને $r$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ છે. સાબિત કરો કે $\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$
Let $a_{1}$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively According to the given information,
$S_{p}=\frac{p}{2}\left[2 a_{1}+(p-1) d\right]=a$ .........$(1)$
$\Rightarrow 2 a_{1}+(p-1) d=\frac{2 a}{p}$
$S_{q}=\frac{q}{2}\left[2 a_{1}+(q-1) d\right]=b$ ............$(2)$
$S_{r}=\frac{r}{2}\left[2 a_{1}+(r-1) d\right]=c$
$\Rightarrow 2 a_{1}+(r-1) d=\frac{2 c}{r}$ ............$(3)$
Subtracting $(2)$ from $(1),$ we obtain
$(p-1) d-(q-1) d=\frac{2 a}{p}-\frac{2 b}{q}$
$\Rightarrow d(p-1-q+1)=\frac{2 a q-2 b p}{p q}$
$\Rightarrow d(p-q)=\frac{2 a q-2 b p}{p q}$
$\Rightarrow d=\frac{2(a q-b p)}{p q(p-q)}$ ..........$(4)$
Subtracting $(3)$ from $(2),$ we obtain
$(q-1) d-(r-1) d=\frac{2 b}{q}-\frac{2 c}{r}$
$\Rightarrow d(q-1-r+1)=\frac{2 b}{q}-\frac{2 c}{r}$
$\Rightarrow d(q-r)=\frac{2 b r-2 q c}{q r}$
$\Rightarrow d=\frac{2(b r-q c)}{q r(q-r)}$ ...........$(5)$
Equating both the values of $d$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain
$\frac{a q-b p}{p q(p-q)}=\frac{b r-q c}{q r(q-r)}$
$\Rightarrow q r(q-r)(a q-b q)=p q(q-q)(b r-q c)$
$\Rightarrow r(a q-b p)(q-r)=p(b r-q c)(p-q)$
$\Rightarrow(a q r-b p r)(q-r)=(b p r-p q c)(p-q)$
Dividing both sides by $pqr,$ we obtain
$\left(\frac{a}{p}-\frac{b}{q}\right)(q-r)=\left(\frac{b}{q}-\frac{c}{r}\right)(p-q)$
$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)-\frac{b}{q}(q-r+p-q)+\frac{c}{r}(p-q)=0$
$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$
Thus, the given result is proved.
શ્રેણીઓ $S _1=3+7+11+15+19+\ldots$ અને $S _2=1+6+11+16+21+\ldots$ નું સામાન્ય $8$મું પદ $............$ છે.
જો ${a_1},\;{a_2},\;{a_3}.......{a_n}$ એ સંમાતર શ્રેણીમંા હોય કે જયાંં ${a_i} > 0$,તો $\frac{1}{{\sqrt {{a_1}} + \sqrt {{a_2}} }} + \frac{1}{{\sqrt {{a_2}} + \sqrt {{a_3}} }} + $ $........ + \frac{1}{{\sqrt {{a_{n - 1}}} + \sqrt {{a_n}} }} = $ ___.
અહી $a$, $b$ એ બે શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા છે . જો $p$ અને $r$ એ સમીકરણ $x ^{2}-8 ax +2 a =0$ ના બીજ છે અને $q$ અને $s$ એ સમીકરણ $x^{2}+12 b x+6 b$ $=0$ ના બીજ છે કે જેથી $\frac{1}{ p }, \frac{1}{ q }, \frac{1}{ r }, \frac{1}{ s }$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે તો $a ^{-1}- b ^{-1}$ ની કિમંત $......$ થાય.
$2$ અથવા $5$ વડે વિભાજ્ય હોય તેવી $1$ થી $100$ વચ્ચેની સંખ્યાનો સરવાળો મેળવો.
જો સમાંતર શ્રેણીનાં $p^{\text {th }}, q^{\text {th }}$ અને $r^{\text {th }}$ માં પદો અનુક્રમે $a, b, c$ હોય તો બતાવો કે, $(q-r) a+(r-p) b+(p-q) c=0$