એક સમાંતર શ્રેણીનાં પ્રથમ $p, q$ અને $r$ પદોના સરવાળા અનુક્રમે $a, b$ અને $c$ છે. સાબિત કરો કે $\frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$
Let $a_{1}$ and $d$ be the first term and the common difference of the $A.P.$ respectively According to the given information,
$S_{p}=\frac{p}{2}\left[2 a_{1}+(p-1) d\right]=a$ .........$(1)$
$\Rightarrow 2 a_{1}+(p-1) d=\frac{2 a}{p}$
$S_{q}=\frac{q}{2}\left[2 a_{1}+(q-1) d\right]=b$ ............$(2)$
$S_{r}=\frac{r}{2}\left[2 a_{1}+(r-1) d\right]=c$
$\Rightarrow 2 a_{1}+(r-1) d=\frac{2 c}{r}$ ............$(3)$
Subtracting $(2)$ from $(1),$ we obtain
$(p-1) d-(q-1) d=\frac{2 a}{p}-\frac{2 b}{q}$
$\Rightarrow d(p-1-q+1)=\frac{2 a q-2 b p}{p q}$
$\Rightarrow d(p-q)=\frac{2 a q-2 b p}{p q}$
$\Rightarrow d=\frac{2(a q-b p)}{p q(p-q)}$ ..........$(4)$
Subtracting $(3)$ from $(2),$ we obtain
$(q-1) d-(r-1) d=\frac{2 b}{q}-\frac{2 c}{r}$
$\Rightarrow d(q-1-r+1)=\frac{2 b}{q}-\frac{2 c}{r}$
$\Rightarrow d(q-r)=\frac{2 b r-2 q c}{q r}$
$\Rightarrow d=\frac{2(b r-q c)}{q r(q-r)}$ ...........$(5)$
Equating both the values of $d$ obtained in $(4)$ and $(5),$ we obtain
$\frac{a q-b p}{p q(p-q)}=\frac{b r-q c}{q r(q-r)}$
$\Rightarrow q r(q-r)(a q-b q)=p q(q-q)(b r-q c)$
$\Rightarrow r(a q-b p)(q-r)=p(b r-q c)(p-q)$
$\Rightarrow(a q r-b p r)(q-r)=(b p r-p q c)(p-q)$
Dividing both sides by $pqr,$ we obtain
$\left(\frac{a}{p}-\frac{b}{q}\right)(q-r)=\left(\frac{b}{q}-\frac{c}{r}\right)(p-q)$
$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)-\frac{b}{q}(q-r+p-q)+\frac{c}{r}(p-q)=0$
$\Rightarrow \frac{a}{p}(q-r)+\frac{b}{q}(r-p)+\frac{c}{r}(p-q)=0$
Thus, the given result is proved.
જો $x=\sum \limits_{n=0}^{\infty} a^{n}, y=\sum\limits_{n=0}^{\infty} b^{n}, z=\sum\limits_{n=0}^{\infty} c^{n}$, જ્યાં $a , b , c$ એ સમાંતર શ્રેણી$(A.P.)$ માં છે. $|a| < 1,|b| < 1,|c| < 1$, $abc$ $\neq 0$ તો:
જો સમાંતર શ્રેણીમાં આવેલી ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો $24$ અને તેમનો ગુણાકાર $440$ હોય તો આ સંખ્યાઓ શોધો.
જો $^n{C_4},{\,^n}{C_5},$ અને ${\,^n}{C_6},$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય તો $n$ મેળવો.
જો સમાંતર શ્રેણીનું $n$ મું પદ $\frac{(2n + 1)}{3}$ હોય,તો તેના $19 $ પદોનો સરવાળો કેટલો થાય ?
એક વેપારી ગણતરી કરે છે કે એક મશીન તેને $Rs$ $15,625$ માં મળે છે અને દર વર્ષે તેનો ઘસારો $20\ %$ છે, તો પાંચ વર્ષ પછી આ મશીનની અંદાજિત કિંમત કેટલી હશે ?