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एक $GP$ का चौथा पद $500$ है तथा इसका सार्व अनुपात $\frac{1}{\mathrm{~m}}, \mathrm{~m} \in \mathrm{N}$ है। माना इस $GP$ के प्रथम $\mathrm{n}$ पदों का योग $\mathrm{S}_{\mathrm{n}}$ है। यदि $\mathrm{S}_6>\mathrm{S}_5+1$ तथा $\mathrm{S}_7<\mathrm{S}_6+\frac{1}{2}$ है, तो $\mathrm{m}$ के संभव मानों की संख्या है______________.
$11$
$10$
$12$
$15$
Solution
$T_4=500 \quad$ where $a=$ first term,
$r =$ common ratio $=\frac{1}{ m }, m \in N$
$a r^3=500$
$\frac{a}{m^3}=500$
$S_n-S_{n-1}=a r^{n-1}$
$S _6 > S _5+1 \quad$ and $S _7- S _6 < \frac{1}{2}$
$S _6- S _5 > 1 \quad \frac{ a }{ m ^6} < \frac{1}{2}$
$ar ^5 > 1 \quad m ^3 > 10^3$
$\frac{500}{ m ^2} > 1 \quad m > 10$
$m ^2 < 500$
From $(1)$ and $(2)$
$m =11,12,13 \ldots \ldots \ldots \ldots ., 22$
So number of possible values of $m$ is $12$
