माना कि $m$ ऐसा न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक (smallest positive integer) है कि $(1+x)^2+(1+x)^3+\cdots+(1+x)^{49}+(1+m x)^{50}$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक $(3 n+1)^{51} C_3$ किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए है। तब $n$ का मान है

यदि $\left(2 x ^{ I }+\frac{1}{ x ^{2}}\right)^{10}$ के द्विपद प्रसार में अचर पद $180$ है तो $r$ बराबर है ……. |

$k$ के धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या, ताकि $\left(2 x ^3+\frac{3}{ x ^{ k }}\right)^{12}, x \neq 0$ द्विपद प्रसार में अचर पद $2^8 . \ell$ हो जहाँ $\ell$ एक विषम पूर्णांक है, होगी –

माना किसी धनपूर्णाक $n$ के लिए, $(1+ x )^{ n +5}$ के द्विपद प्रसार में तीन क्रमागत पदों के गुणांक $5: 10: 14$ के अनुपात में हैं, तो इस प्रसार में सब से बड़ा गुणांक है 

सिद्ध कीजिए कि $\sum\limits_{r = 0}^n {{3^r}{\,^n}{C_r} = {4^n}} $