સાબિત કરો કે $(1+x)^{2 n}$ ના વિસ્તરણનું મધ્યમ પદ $\frac{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}{n !} 2 n\, x^{n}$ છે, જ્યાં $n$ ધન પૂર્ણાક છે.

${\left[ {\sqrt{\frac{ x }{3}} + \frac{{\sqrt 3 }}{{{x^2}}}} \right]^{10}}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ મેળવો.

જો ${(1 + x)^m}{(1 – x)^n}$ ના વિસ્તરણમાં $x$ અને ${x^2}$ ના સહગુણક અનુક્રમે $3$ અને $-6$ હોયતો $m$ મેળવો.

ધારો કે $\left(\sqrt{2^{\log _2}\left(10-3^x\right)}+\sqrt[5]{2^{(x-2) \log _2 3}}\right)^m$ નું દ્રીપદી વિસ્તરણ એ $2^{(x-2) \log _2 3}$ની વધતી ધાતમાં લઈએ,તો તેનું છઠ્ઠું પદ $21$ છે.જો આ દ્રીપદી વિસ્તરણના બીજા,ત્રીજા અને ચોથા પદોના સહગુણકો અનુક્રમે સમાંતર શ્રેણી ણા પ્રથમ,ત્રીજા અને પાંચમાં પદો હોય,તો $x$ની શક્ય તમામ કિમતોના વર્ગોનો સરવાળો $…………..$ છે.

$(1-x)^{30} \, (1 + x + x^2)^{29}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{37}$ નો સહગુણક મેળવો