{(1 + {t^2})^{12}}(1 + {t^{12}}),(1 + {t^{24}}) के विस्तार में {t^{24}} क?

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7.Binomial Theorem

hard

${(1 + {t^2})^{12}}(1 + {t^{12}})\,(1 + {t^{24}})$ के विस्तार में ${t^{24}}$ का गुणांक होगा

A

$^{12}{C_6} + 2$

B

$^{12}{C_5}$

C

$^{12}{C_6}$

D

$^{12}{C_7}$

(IIT-2003)

Solution

${(1 + {t^2})^{12}}(1 + {t^{12}})(1 + {t^{24}})$

= $(1 + {}^{12}{C_1}{t^2} + {}^{12}{C_2}{t^4} + …{ + ^{12}}{C_4}{t^8} + …{ + ^{12}}{C_{10}}{t^{20}} + ….)$

$(1 + {t^{12}} + {t^{24}} + {t^{36}})$

$\therefore {t^{24}}$ का गुणांक ${ = ^{12}}{C_6} + 2.$

Standard 11

Mathematics

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$(A)$ $Z \cup T_1 \cup T_2 \subset S$

$(B)$ $T_1 \cap\left(0, \frac{1}{2024}\right)=\phi$, जहां $\phi$ रिक्त समुच्चय (empty set) को दर्शाता है।

$(C)$ $T_2 \cap(2024, \infty) \neq \phi$

$(D)$ किन्हीं दिये गए $a, b \in Z$ के लिए, $\cos (\pi(a+b \sqrt{2}))+i \sin (\pi(a+b \sqrt{2})) \in Z$ यदि और केवल यदि (if and only if) $b=0$, जहां $i=\sqrt{-1}$ है।

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