$\left(\frac{4 \mathrm{x}}{5}+\frac{5}{2 \mathrm{x}^2}\right)^9$ के प्रसार में $\mathrm{x}^{-6}$ का गुणांक है______________.

${(x + a)^n}$ के विस्तार में दूसरा, तीसरा तथा चौथा पद क्रमश:  $240, 720$ और $1080$ हैं, तो $n$ का मान होगा

यदि $\left( x ^{2}+\frac{1}{ bx }\right)^{11}, b \neq 0$, में $x ^{7}$ का गुणांक तथा $\left( x -\frac{1}{ bx ^{2}}\right)^{11}$, में $x ^{-7}$ का गुणांक बराबर है, तो $b$ का मान बराबर है ?

यदि $n$, बहुपद ${\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1}  - \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8} $$+ {\left[ {\frac{1}{{\sqrt {5{x^3} + 1}  + \sqrt {5{x^3} - 1} }}} \right]^8}$ की घात है, तथा $m$ इसमें स्थित $x ^{ n }$ का गुणांक है, तो क्रमित युग्म $( n , m )$ बराबर है $:$

यदि $(1+a)^{n}$ के प्रसार में $a^{r-1}, a^{r}$ तथा $a^{r+1}$ के गुणांक समांतर श्रेणी में हों तो सिद्ध कीजिए कि $n^{2}-n(4 r+1)+4 r^{2}-2=0$

$k$ के धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या, ताकि $\left(2 x ^3+\frac{3}{ x ^{ k }}\right)^{12}, x \neq 0$ द्विपद प्रसार में अचर पद $2^8 . \ell$ हो जहाँ $\ell$ एक विषम पूर्णांक है, होगी -