K के धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या, ?

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7.Binomial Theorem

medium

$k$ के धनात्मक पूर्णांक मानों की संख्या, ताकि $\left(2 x ^3+\frac{3}{ x ^{ k }}\right)^{12}, x \neq 0$ द्विपद प्रसार में अचर पद $2^8 . \ell$ हो जहाँ $\ell$ एक विषम पूर्णांक है, होगी -

A

$20$

B

$9$

C

$2$

D

$70$

(JEE MAIN-2022)

Solution

$\left(2 x^{3}+\frac{3}{x^{k}}\right)^{12}$

$t _{ r +1}={ }^{12} C _{ r }\left(2 x ^{3}\right)^{ r }\left(\frac{3}{ x ^{ k }}\right)^{12- r }$

$x ^{3 r -(12- r ) k } \rightarrow constant$

$\therefore 3 r -12 k + rk =0$

$\Rightarrow k =\frac{3 r }{12- r }$

$\therefore$ possible values of $r$ are $3,6,8,9,10$ and corresponding values of $k$ are $1,3,6,9,15$

Now ${ }^{12} C _{ r }=220,924,495,220,66$

$\therefore$ possible values of $k$ for which we will get $2^{8}$ are $3. 6$

Standard 11

Mathematics

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