दर्शाइए कि $\left|\begin{array}{ccc}a & b & c \\ a+2 x & b+2 y & c+2 z \\ x & y & z\end{array}\right|=0$

सिद्ध कीजिए कि सारणिक

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}
a+b x & c+d x & p+q x \\
a x+b & c x+d & p x+q \\
u & v & w
\end{array}\right|=\left(1-x^{2}\right)\left|\begin{array}{lll}
a & c & p \\
b & d & q \\
u & v & m
\end{array}\right|$

यदि रैखिक समीकरणों के निकाय $x + 2ay + az = 0,$ $x + 3by + bz = 0,$ $x + 4cy + cz = 0$ का अशून्य हल हो तो  $a,b,c$ हैं

माना कि $z=\frac{-1+\sqrt{3} i}{2}$ है, जहाँ $i=\sqrt{-1}$ और $r, s \in\{1,2,3\}$ हैं। माना कि $P=\left[\begin{array}{cc}(-z)^r & z^{2 s} \\ z^{2 s} & z^r\end{array}\right]$ और $I$ दो कोटि (order $2$) का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है। तब वे सभी क्रमित युग्म (ordered pairs) $(r, s)$, जिनके लिए $P^2=-I$ है, की कुल संख्या है

यदि $a + x = b + y = c + z +1$ है, जहाँ $a , b , c , x$, $y , z$ शून्येत्तर भिन्न वास्तविक संख्याएँ हैं , तो $\left|\begin{array}{lll} x & a + y & x + a \\ y & b + y & y + b \\ z & c + y & z + c \end{array}\right|$ बराबर है 

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^{2} \\ x^{2} & 1 & x \\ x & x^{2} & 1\end{array}\right|=\left(1-x^{3}\right)^{2}$