सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए

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3 and 4 .Determinants and Matrices

medium

सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$

Option A

Option B

Option C

Option D

Solution

$L H S .=\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|$

$=\frac{1}{a b c}\left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & a b c \\ b^{2} & b^{3} & a b c \\ c^{2} & c^{3} & a b c\end{array}\right|$ $\left[R_{1} \rightarrow a R_{1}, R_{2} \rightarrow b R_{2}, \text { and } \mathrm{R}_{3} \rightarrow c R_{3}\right]$

$=\frac{1}{a b c} a b c\left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right| \quad\left[\text { Taking out factor } a b c \text { from } C_{3}\right]$

$=\left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right|$

$=\left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| \quad\left[\text { Applying } C_{1} \leftrightarrow C_{3} \,a n d\, C_{2} \leftrightarrow C_{3}\right]$

$=\mathrm{R} . \mathrm{H.S}$

Hence, the given result is proved.

Standard 12

Mathematics

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2 x & 2 x \\ 2 x & x+4 & 2 x \\ 2 x & 2 x & x+4\end{array}\right|=(5 x+4)(4-x)^{2}$

medium

माना $A$ एक $3 \times 3$ आव्यूह है तथा $\operatorname{det}( A )=4$ है। माना $R _{ i }$, आव्यूह $A$ की iवी पंक्ति को दर्शाता है। यदि $2 A$ पर संक्रिया $R _{2} \rightarrow 2 R _{2}+5 R _{3}$ के प्रयोग से आव्यूह $B$ प्राप्त होता है, तो $\operatorname{det}( B )$ बराबर है

medium

(JEE MAIN-2021)

बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए।

$\left|\begin{array}{lll}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|=0$

easy

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$

hard

माना $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}\sin ^{2} x & -2+\cos ^{2} x & \cos 2 x \\ 2+\sin ^{2} x & \cos ^{2} x & \cos 2 x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x & 1+\cos 2 x\end{array}\right|, x \in[0, \pi]$है, तो $f ( x )$ का अधिकतम मान बराबर है ………….|

hard

(JEE MAIN-2021)

Solution

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बिना प्रसरण किए और सारणिकों के गुणधर्मो का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए। $\left|\begin{array}{lll}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|=0$

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए : $\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$

माना $f(x)=\left|\begin{array}{ccc}\sin ^{2} x & -2+\cos ^{2} x & \cos 2 x \\ 2+\sin ^{2} x & \cos ^{2} x & \cos 2 x \\ \sin ^{2} x & \cos ^{2} x & 1+\cos 2 x\end{array}\right|, x \in[0, \pi]$है, तो $f ( x )$ का अधिकतम मान बराबर है ………….|

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$\left|\begin{array}{ccc}x+4 & 2 x & 2 x \\ 2 x & x+4 & 2 x \\ 2 x & 2 x & x+4\end{array}\right|=(5 x+4)(4-x)^{2}$

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$\left|\begin{array}{lll}x & a & x+a \\ y & b & y+b \\ z & c & z+c\end{array}\right|=0$

सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :

$\left|\begin{array}{ccc}a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{array}\right|=(a+b+c)^{3}$