सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$
सारणिक का प्रसरण किए बिना सिद्ध कीजिए कि $\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right|$
$L H S .=\left|\begin{array}{lll}a & a^{2} & b c \\ b & b^{2} & c a \\ c & c^{2} & a b\end{array}\right|$
$=\frac{1}{a b c}\left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & a b c \\ b^{2} & b^{3} & a b c \\ c^{2} & c^{3} & a b c\end{array}\right|$ $\left[R_{1} \rightarrow a R_{1}, R_{2} \rightarrow b R_{2}, \text { and } \mathrm{R}_{3} \rightarrow c R_{3}\right]$
$=\frac{1}{a b c} a b c\left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right| \quad\left[\text { Taking out factor } a b c \text { from } C_{3}\right]$
$=\left|\begin{array}{lll}a^{2} & a^{3} & 1 \\ b^{2} & b^{3} & 1 \\ c^{2} & c^{3} & 1\end{array}\right|$
$=\left|\begin{array}{lll}1 & a^{2} & a^{3} \\ 1 & b^{2} & b^{3} \\ 1 & c^{2} & c^{3}\end{array}\right| \quad\left[\text { Applying } C_{1} \leftrightarrow C_{3} \,a n d\, C_{2} \leftrightarrow C_{3}\right]$
$=\mathrm{R} . \mathrm{H.S}$
Hence, the given result is proved.
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सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^{2}(3 x+k)$
सारणिकों के गुणधर्मों का प्रयोग करके सिद्ध कीजिए :
$\left|\begin{array}{ccc}y+k & y & y \\ y & y+k & y \\ y & y & y+k\end{array}\right|=k^{2}(3 x+k)$
यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&x&y\\{z + x}&z&x\\{x + y}&y&z\end{array}\,} \right| = k(x + y + z){(x - z)^2}$, तब $k = $
यदि $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}{y + z}&x&y\\{z + x}&z&x\\{x + y}&y&z\end{array}\,} \right| = k(x + y + z){(x - z)^2}$, तब $k = $
सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}0&{{b^3} - {a^3}}&{{c^3} - {a^3}}\\{{a^3} - {b^3}}&0&{{c^3} - {b^3}}\\{{a^3} - {c^3}}&{{b^3} - {c^3}}&0\end{array}\,} \right|$ का मान है
सारणिक $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}0&{{b^3} - {a^3}}&{{c^3} - {a^3}}\\{{a^3} - {b^3}}&0&{{c^3} - {b^3}}\\{{a^3} - {c^3}}&{{b^3} - {c^3}}&0\end{array}\,} \right|$ का मान है
यदि $a, b, c$ समांतर श्रेढ़ी में हों तो सारणिक
$\left|\begin{array}{lll}x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c\end{array}\right|$ का मान होगा|:
यदि $a, b, c$ समांतर श्रेढ़ी में हों तो सारणिक
$\left|\begin{array}{lll}x+2 & x+3 & x+2 a \\ x+3 & x+4 & x+2 b \\ x+4 & x+5 & x+2 c\end{array}\right|$ का मान होगा|:
यदि $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ है तो गुणधर्म $2$ का सत्यापन कीजिए।
यदि $\Delta=\left|\begin{array}{ccc}2 & -3 & 5 \\ 6 & 0 & 4 \\ 1 & 5 & -7\end{array}\right|$ है तो गुणधर्म $2$ का सत्यापन कीजिए।