(c) वृत्तों का निकाय है,

${x^2} + {y^2} – 2x – 4y + 1 + \lambda ({x^2} + {y^2} – 1) = 0$

$(1 + \lambda ){x^2} + (1 + \lambda ){y^2} – 2x – 4y + (1 – \lambda ) = 0$

${x^2} + {y^2} – \frac{2}{{1 + \lambda }}x – \frac{4}{{1 + \lambda }}y + \frac{{1 – \lambda }}{{1 + \lambda }} = 0$…..(i)

केन्द्र $\left[ {\frac{1}{{1 + \lambda }},\;\frac{2}{{1 + \lambda }}} \right]$ है

त्रिज्या $ = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{1 + \lambda }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{{1 + \lambda }}} \right)}^2} – \frac{{1 – \lambda }}{{1 + \lambda }}}  $

$= \frac{{\sqrt {4 + {\lambda ^2}} }}{{1 + \lambda }}$

यह रेखा $x + 2y = 0$ को स्पर्श करती है,

अत: त्रिज्या = केन्द्र से रेखा पर लम्बवत् दूरी

अर्थात् $\left| {\frac{{\frac{1}{{1 + \lambda }} + 2\frac{2}{{1 + \lambda }}}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}} \right| = \frac{{\sqrt {4 + {\lambda ^2}} }}{{1 + \lambda }} $

$\Rightarrow \sqrt 5  = \sqrt {4 + {\lambda ^2}}  $

$\Rightarrow \lambda  \pm 1$

$ \Rightarrow \sqrt 5  = \sqrt {4 + {\lambda ^2}}  $

$\Rightarrow \lambda  =  \pm 1$

$\lambda  =  – 1$ वृत्त के लिये संभव नहीं है

अत: $\lambda  = 1$.

अत: (i) से वृत्त का अभीष्ट समीकरण ${x^2} + {y^2} – x – 2y = 0$ है।