वृत्तों {x^2} + {y^2} - 1 = 0, {x^2} + {y^2} | vedclass

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Question

(c) वृत्तों का निकाय है,

${x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 1 + \lambda ({x^2} + {y^2} - 1) = 0$

$(1 + \lambda ){x^2} + (1 + \lambda ){y^2} - 2x - 4y +

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${x^2} + {y^2} - x - 2y = 0$

Vedclass · Answer

(c) वृत्तों का निकाय है,

${x^2} + {y^2} - 2x - 4y + 1 + \lambda ({x^2} + {y^2} - 1) = 0$

$(1 + \lambda ){x^2} + (1 + \lambda ){y^2} - 2x - 4y + (1 - \lambda ) = 0$

${x^2} + {y^2} - \frac{2}{{1 + \lambda }}x - \frac{4}{{1 + \lambda }}y + \frac{{1 - \lambda }}{{1 + \lambda }} = 0$.....(i)

केन्द्र $\left[ {\frac{1}{{1 + \lambda }},\;\frac{2}{{1 + \lambda }}} \right]$ है

त्रिज्या $ = \sqrt {{{\left( {\frac{1}{{1 + \lambda }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{{1 + \lambda }}} \right)}^2} - \frac{{1 - \lambda }}{{1 + \lambda }}}  $

$= \frac{{\sqrt {4 + {\lambda ^2}} }}{{1 + \lambda }}$

यह रेखा $x + 2y = 0$ को स्पर्श करती है,

अत: त्रिज्या = केन्द्र से रेखा पर लम्बवत् दूरी

अर्थात् $\left| {\frac{{\frac{1}{{1 + \lambda }} + 2\frac{2}{{1 + \lambda }}}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} }}} \right| = \frac{{\sqrt {4 + {\lambda ^2}} }}{{1 + \lambda }} $

$\Rightarrow \sqrt 5  = \sqrt {4 + {\lambda ^2}}  $

$\Rightarrow \lambda  \pm 1$

$ \Rightarrow \sqrt 5  = \sqrt {4 + {\lambda ^2}}  $

$\Rightarrow \lambda  =  \pm 1$

$\lambda  =  - 1$ वृत्त के लिये संभव नहीं है

अत: $\lambda  = 1$.

अत: (i) से वृत्त का अभीष्ट समीकरण ${x^2} + {y^2} - x - 2y = 0$ है।

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