उस दीर्घवृत्त का समीकरण जिसकी नाभियाँ  $( \pm 5,\;0)$ तथा एक नियता $5x = 36$ है, होगा

माना दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{4}=1$ के बिंदु $(3 \sqrt{3}, 1)$ पर स्पर्श रेखा तथा अभिलंब $\mathrm{y}$-अक्ष को क्रमशः बिंदुओं $\mathrm{A}$ तथा $B$ पर मिलते हैं। माना $A B$ को एक व्यास लेकर खींचा गया वृत्त $C$ है तथा रेखा $x=2 \sqrt{5}$, वृत्त $C$ को बिंदुओं $\mathrm{P}$ तथा $\mathrm{Q}$ पर काटती है। यदि वृत्त के बिंदुओं $P$ तथा $Q$ पर स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, \beta)$ है, तो $\alpha^2-\beta^2$ बराबर है

दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1$ की नियताओं के बीच की दूरी है  

एक दीर्घवृत्त की उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ और एक नाभि बिन्दु $P\left( {\frac{1}{2},\;1} \right)$ है। इसकी एक नियता वृत्त ${x^2} + {y^2} = 1$ और अतिपरवलय ${x^2} - {y^2} = 1$ की बिन्दु $P$ के निकट स्थित उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है। दीर्घवृत्त का मानक रूप में समीकरण होगा

माना दीर्घवृत्त $9 x^2+4 y^2=36$ पर चार बिंदु $\mathrm{P}\left(\frac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{7}}, \frac{6}{\sqrt{7}}\right), \mathrm{Q}, \mathrm{R}$ तथा $\mathrm{S}$ हैं। माना रेखाखंड $\mathrm{PQ}$ तथा $\mathrm{RS}$ परस्पर लंबवत है तथा मूलबिंदु से होकर जाते हैं। यदि $\frac{1}{(\mathrm{PQ})^2}+\frac{1}{(\mathrm{RS})^2}=\frac{\mathrm{p}}{\mathrm{q}}$, जहाँ $\mathrm{p}$ तथा $q$ असहभाज्य है, तो $\mathrm{p}+\mathrm{q}$ बराबर है :

दीर्घवृत्त  $4{x^2} + 9{y^2} - 8x - 36y + 4 = 0$ की नाभिलम्ब जीवा है