माना दीर्घवत्त $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ पद दूसरे चतुर्थाश में एक बिंदु $P$ इस प्रकार है कि $P$ पर दीर्घवत की स्पर्श रेखा, रेखा $x +2 y =0$ के लंबवत हैं। माना दीर्घवत्त की नाभियों $S$ तथा $S^{\prime}$ है तथा इसकी उत्केन्द्रता $e$ है। यदि त्रिभुज SPS' का क्षेत्रफल $A$ है तो $\left(5- e ^{2}\right) . A$ का मान है

दीर्घवृत्त का समीकरण जिसकी उत्केन्द्रता $\frac{1}{2}$ तथा नाभियाँ $( \pm {\rm{ }}1,\;0)$ हैं, है  

माना कि $T_1$ एवं $T_2$ दीर्घवृत (ellipse) $E: \frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1$ एवं परवलय (parabola) $P: y^2=12 x$ की दो भिन्न उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएं (distinct common tangents) हैं। माना कि स्पर्श रेखा $T_1, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_1$ एवं $A_2$ पर स्पर्श करती है और स्पर्श रेखा $T_2, P$ एवं $E$ को क्रमशः बिन्दुओं $A_4$ एवं $A_3$ पर स्पर्श करती है। तब निम्न में से कौन सा(से) कथन सत्य है(हैं)?

$(A)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $35$ वर्ग इकाई है

$(B)$ चतुर्भुज $A_1 A_2 A_3 A_4$ का क्षेत्रफल $36$ वर्ग इकाई है

$(C)$ स्पर्श रेखाएं $T_1$ एवं $T_2, x$-अक्ष को बिंदु $(-3,0)$ पर मिलती हैं

$(D)$ स्पर्श रेखाएं $T_1$ एवं $T_2, x$-अक्ष को बिंदु $(-6,0)$ पर मिलती हैं

दीर्घवृत्त  $3{x^2} + 2{y^2} = 5$ पर बिन्दु  $(1, 2)$ से खींची गयीं स्पर्श रेखाओं के बीच कोण है    

एक व्यक्ति दौड़पथ पर दौड़ते हुऐ अंकित करता है कि उससे दो झंडा चौकियों की दूरियों का योग सदैव $10$ मीटर रहता है। और झंडा चोकियों के बीच की दूरी $8$ मीटर है। व्यक्ति द्वारा बनाए पथ का समीकरण ज्ञात कीजिए।

दीर्घवृत्त  $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ की लम्बवत् स्पर्श रेखाओं के प्रतिच्छेद बिन्दु का बिन्दुपथ है