माना दीर्घवत्त frac{x^{2}}{8}+frac{y^{2}}{4}=1 पद दूसरे च?

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10-2. Parabola, Ellipse, Hyperbola

hard

माना दीर्घवत्त $\frac{x^{2}}{8}+\frac{y^{2}}{4}=1$ पद दूसरे चतुर्थाश में एक बिंदु $P$ इस प्रकार है कि $P$ पर दीर्घवत की स्पर्श रेखा, रेखा $x +2 y =0$ के लंबवत हैं। माना दीर्घवत्त की नाभियों $S$ तथा $S^{\prime}$ है तथा इसकी उत्केन्द्रता $e$ है। यदि त्रिभुज SPS' का क्षेत्रफल $A$ है तो $\left(5- e ^{2}\right) . A$ का मान है

A

$12$

B

$6$

C

$14$

D

$24$

(JEE MAIN-2021)

Solution

Equation of tangent : $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+6$

at $\mathrm{P}$

$\therefore \mathrm{P}(-8 / 3,2 / 3)$

$\mathrm{e}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

$\mathrm{~S} \& \mathrm{~S}^{\prime}=(-2,0) \&(2,0)$

Area of $\Delta$ SPS' $=\frac{1}{2} \times 4 \times \frac{2}{3}$

$A=\frac{4}{3}$

$\therefore\left(5-\mathrm{e}^{2}\right) \mathrm{A}=\left(5-\frac{1}{2}\right) \frac{4}{3}=6$

Standard 11

Mathematics

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