હાઈડ્રોજન પરમાણમાં ઈલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોન વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ, કુલંબ આકર્ષણ કરતાં $10^{-10}$ ગણું નાનું છે. આ હકીકતને જોવાની એક વૈકલ્પિક રીત, ઈલેક્ટ્રૉન અને પ્રોટોન ગુરુત્વાકર્ષણથી બંધિત હોત તો હાઈડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ બોર કક્ષાની ત્રિજ્યાનો અંદાજ મેળવવાની છે. તમને તેનો ઉત્તર રસપ્રદ લાગશે.

Radius of the first Bohr orbit is given by the relation,

$r_{1}=\frac{4 \pi \epsilon_{0}\left(\frac{h}{2 \pi}\right)^{2}}{m_{e} e^{2}}\dots(i)$

Where,

$\epsilon_{0}=$ Permittivity of free space

$h=$ Planck's constant $=6.63 \times 10^{-34}\, Js$

$m_{e}=$ Mass of an electron $=9.1 \times 10^{-31} \,kg$

$e=$ Charge of an electron $=1.9 \times 10^{-19}\, C$

$m_{p}=$ Mass of a proton $=1.67 \times 10^{-27} \,kg$

$r=$ Distance between the electron and the proton

Coulomb attraction between an electron and a proton is given as

$F_{c}=\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}}\dots(ii)$

Gravitational force of attraction between an electron and a proton is given as

$F_{G}=\frac{G m_{p} m_{e}}{r^{2}}\dots(iii)$

Where,

$G=$ Gravitational constant $=6.67 \times 10^{-11} \,Nm ^{2} / kg ^{2}$

The electrostatic (Coulomb) force and the gravitational force between an electron ahd a proton are equal, then we can write

$\therefore F_{G}=F_{C}$

$\frac{G m_{p} m_{e}}{r^{2}}=\frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0} r^{2}}$

$\therefore \frac{e^{2}}{4 \pi \epsilon_{0}}=G m_{p} m_{e}\dots(iv)$

Putting the value of equation $(iv)$ in equation $(i),$ we get

$r_{1}=\frac{\left(\frac{h}{2 \pi}\right)^{2}}{G m_{p} m_{e}^{2}}$

$=\frac{\left(\frac{6.63 \times 10^{-34}}{2 \times 3.14}\right)^{2}}{6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times\left(9.1 \times 10^{-31}\right)^{2}}$$\approx 1.21 \times 10^{29} \,m$

It is known that the universe is $156$ billion light years wide or $1.5 \times 10^{27} \,m$ wide. Hence, we can conclude that the radius of the first Bohr orbit is much greater than the estimated size of the whole universe.