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दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1$ के अक्ष तथा स्पश्री के मध्य खींची गयी रेखा के मध्य बिन्दु का बिन्दुपथ होगा
$\frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{y^2}}} = 1$
$\frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{y^2}}} = 2$
$\frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{y^2}}} = 3$
$\frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{y^2}}} = 4$
Solution
(d) अक्षों के मध्य स्थित रेखा $PQ$ का मध्य बिन्दु $R({x_1},{y_1})$ तब $P$ तथा $Q$ के निर्देशांक क्रमश: $(2{x_1},0)$ तथा $(0,\,2{y_1})$ होंगे।
$\therefore$ रेखा $PQ$ का समीकरण $\frac{x}{{2{x_1}}} + \frac{y}{{2{y_1}}} = 1$
==> $y = – \left( {\frac{{{y_1}}}{{{x_1}}}} \right)\,x + 2{y_1}$ है।
यदि यह रेखा दीर्घवृत्त $\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,$ को स्पर्श करती है।
तब ${c^2} = {a^2}{m^2} + {b^2}$
अर्थात् , ${(2{y_1})^2} = {a^2}{\left( {\frac{{ – {y_1}}}{{{x_1}}}} \right)^2} + {b^2}$ या $4y_1^2 = \left\{ {\frac{{{a^2}y_1^2}}{{x_1^2}}} \right\} + {b^2}$
या $4 = \left( {\frac{{{a^2}}}{{x_1^2}}} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{{y_1^2}}} \right)$ या $\left( {\frac{{{a^2}}}{{x_1^2}}} \right) + \left( {\frac{{{b^2}}}{{y_1^2}}} \right) = 4$
$\therefore$ बिन्दु $({x_1},{y_1})$ का अभीष्ट बिन्दुपथ $\left( {\frac{{{a^2}}}{{{x^2}}} + \frac{{{b^2}}}{{{y^2}}}} \right)$ $= 4$ है।
