धरातल से दागे गए एक प्रक्षेप्य की प्रारम्भिक चाल $\mathrm{u}$ है। गति के दौरान अधिकतम ऊँचाई पर प्रक्षेप्य की चाल $\frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{u}$ है। प्रक्षेप्य का उड्डयन काल है:

एक पिण्ड $A$ जिसका द्रव्यमान $M$ है, वेग $v$ से क्षैतिज से $30^°$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है अन्य पिण्ड जिसका द्रव्यमान पहले पिण्ड के समान है, समान वेग से क्षैतिज से $60^°$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है। $A$ तथा $B$ की क्षैतिज परासों का अनुपात होगा

$(a)$ सिद्ध कीजिए कि किसी प्रक्षेप्य के $x -$अक्ष तथा उसके वेग के बीच के कोण को समय के फलन के रूप में निम्न प्रकार से व्यक्त कर सकते हैं|

$\theta(t)=\tan ^{-1}\left(\frac{v_{0 y}-g t}{v_{0 x}}\right)$

$(b)$ सिद्ध कीजिए कि मूल बिंदु से फेंके गए प्रक्षेप्य कोण का मान $\theta_{0}=\tan ^{-1}\left(\frac{4 h_{m}}{R}\right)$ होगा। यहाँ प्रयुक्त प्रतीकों के अर्थ सामान्य हैं।

क्षैतिज से $15^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य परास $50 \mathrm{~m}$ है। यदि प्रक्षेप्य को समान वेग से क्षैतिज से $45^{\circ}$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है, तो इसका परास होगा$……..\,m$

एक प्रक्षेप्य क्षैतिज से $30°$ का कोण बनाते हुये फेंका जाता है एवं इसकी परास $R$ है। यदि उसी वेग से इसे $60°$ के कोण पर प्रक्षेपित करें, तो परास होगी