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7.Binomial Theorem
medium
यदि ${(1 + x)^n}$ के विस्तार में द्वितीय, तृतीय तथा चतुर्थ पदों के गुणांक समान्तर श्रेणी $(A.P.)$ में हों, तब $n$ बराबर है
A
$7$
B
$2$
C
$6$
D
इनमें से कोई नहीं
(IIT-1994)
Solution
(a) ${(1 + x)^n}$ के प्रसार में दिया गया है कि $^n{C_1}{,^n}{C_2}{,^n}{C_3}$ समान्तर श्रेणी में है।
==> ${2.^n}{C_2} = {\,^n}{C_1} + {\,^n}{C_3}$
==> $2.\frac{{n(n – 1)}}{{1.2}} = \frac{n}{1} + \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{{1.2.3}}$
==> $6(n – 1) = 6 + (n – 2)(n – 1)$
==> ${n^2} – 9n + 14 = 0$
==> $n = 2$ या $n = 7$.
परन्तु $n = 2$ नहीं लिया जा सकता है क्योंकि $n = 2$ के लिए ${(1 + x)^2}$ के प्रसार में केवल तीन पद होंगे, $\therefore $ $n = 7$.
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