किसी प्रयोग में सरल लोलक का आवर्तकाल क्रमश: $2.63\, s, 2.56 \,s, 2.42 \,s, 2.71 \,s$ तथा $2.80 \,s$ मापा गया तो औसत निरपेक्ष त्रुटि ......... $s$ होगी

यदि सभी स्वतंत्र राशियों (independent quantities) की मापन न्रुटियाँ (measurement errors) ज्ञात हो, तो किसी निर्भर राशि (dependent quantity) की न्रुटि का परिकलन (calculation) किया जा सकता है। इस परिकलन में श्रेणी प्रसार (series expansion) का प्रयोग किया जाता है और इस प्रसार को न्रुटि (error) के पहले घात (first power) पर रून्डित (truncate) किया जाता है। उदाहरण स्वरूप, सम्बन्ध $z=x / y$ में यदि $x, y$ और $z$ की त्रुटियाँ क्रमशः $\Delta x, \Delta y$ और $\Delta z$ हों, तो

$z \pm \Delta z=\frac{x \pm \Delta x}{y \pm \Delta y}=\frac{x}{y}\left(1 \pm \frac{\Delta x}{x}\right)\left(1 \pm \frac{\Delta y}{y}\right)^{-1} .$

$\left(1 \pm \frac{\Delta y}{y}\right)^{-1}$ का श्रेणी प्रसार, $\Delta y / y$ में पहले घात तक, $1 \mp(\Delta y / y)$ है। स्वतंत्र राशियों की आपेक्षिक त्रुटियाँ (relative errors) सदैव जोड़ी जाती हैं। इसलिए $z$ की त्रुटि होगी

$\Delta z=z\left(\frac{\Delta x}{x}+\frac{\Delta y}{y}\right) .$

उपरोक्त परिकलन में $\Delta x / x \ll 1, \Delta y / y \ll 1$ माने गये हैं। इसलिए इन राशियों की उच्चतर घातें (higher powers) उपेक्षित हैं।

($1$) एक विमा-रहित (dimensionless) राशि $a$ को माप कर, एक अनुपात (ratio) $r=\frac{(1-a)}{(1+a)}$ का परिकलन करना है। यदि $a$ की मापन की त्रुटि $\Delta a$ है ( $\Delta a / a \ll 1)$, तो $r$ के परिकलन की त्रुटि $\Delta r$ क्या होगी?

$(A)$ $\frac{\Delta a }{(1+ a )^2}$  $(B)$ $\frac{2 \Delta a }{(1+ a )^2}$  $(C)$ $\frac{2 \Delta a}{\left(1-a^2\right)}$  $(D)$ $\frac{2 a \Delta a}{\left(1-a^2\right)}$

($2$) एक प्रयोग के आरंभ में रेडियोएक्टिव नाभिकों की संख्या $3000$ है। प्रयोग के पहले $1.0$ सेकंड में $1000 \pm 40$ नाभिकों का क्षय हो जाता है। यदि $|x| \ll 1$ हो, तो $x$ के पहले घात तक $\ln (1+x)=x$ है। क्षयांक (decay constant) $\lambda$ के निर्धारण में त्रुटि $\Delta \lambda, s^{-1}$ में, हैtion of the decay constant $\lambda$, in $s ^{-1}$, is

$(A) 0.04$  $(B) 0.03$  $(C) 0.02$  $(D) 0.01$

इस प्रश्न के उतर दीजिये $1$ ओर $2.$

किसी भौतिक राशि ' $y$ ' को नीचे दिए गए सूत्र द्वारा निरूपित किया गया है। $y = m ^{2} r ^{-4} g ^{ x } l^{-\frac{3}{2}}$ यदि $y , m$, r. $l$ और $g$ में त्रटि-प्रतिशतता क्रमश: $18,1,0.5,4$ और $p$ है, तो $x$ और $p$ के मान होंगे?

प्रतिशत त्रुटि की इकाई है

एक आयताकार कमरे की लम्बाई और चौड़ाई क्रमश: $3.95 \pm 0.05 \,m$ एवं $3.05 \pm 0.05 \,m$ मापी गयी है. कमरे के फर्श का क्षेत्रफल ..................... $m^2$ होगा

घन की आकृति वाले किसी पदार्थ का घनत्व, उसकी तीन भुजाओं एवं द्रव्यमान को माप कर, निकाला जाता है। यदि द्रव्यमान एवं लम्बाई कों मापने में सापेक्ष त्रुटियाँ क्रमशः $1.5 \%$ तथा $1 \%$ हो तो घनत्व को मापने में अधिकतम त्रुटि ......... $\%$ होगी