किसी गुणोत्तर श्रेणी की $3$ संख्याओं का योग $38$ तथा गुणनफल $1728$ है तब मध्य संख्या है

किसी गुणोत्तर श्रेणी के पदों की संख्या सम है। यदि उसके सभी पदों का योगफल, विषम स्थान पर रखे पदों के योगफल का $5$ गुना है, तो सार्व अनुपात ज्ञात कीजिए।

एक व्यक्ति की दसवीं पीढ़ी तक पूर्वजों की संख्या कितनी होगी, जबकि उसके $2$ माता-पिता, $4$ दादा-दादी, $8$ पर दादा, पर दादी तथा आदि हैं।

ऐसे चार पद ज्ञात कीजिए जो गुणोत्तर श्रेणी में हो, जिसका तीसरा पद प्रथम पद से $9$ अधिक हो तथा दूसरा पद चौथे पद से $18$ अधिक हो।

कार्तीय तल में $C_1, C_2, \ldots, C_n$, जहां $n \geq 3$, नामक वृत्त दिये गये हैं जिनकी त्रिज्या क्रमानुसार $r_1, r_2, \ldots, r_n$ है। प्रत्येक $i$, $1 \leq i \leq n-1$ के लिए, वृत्त $C_i$ तथा $C_{i+1}$ एक दूसरे को बाह्य रूप से छूते हैं। यदि $x$-अक्ष तथा रेखा $y=2 \sqrt{2} x+10$ दोनों ही दिये गए सारे वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ है तो क्रमानुसार सूची $r_1, r_2, \ldots, r_n$

अनुक्रम $3 + 33 + 333 + ....$ के $n$ पदों का योग होगा