यदि $a, b, c, d$ तथा $p$ विभिन्न वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right) \leq 0$ तो दर्शाइए कि $a, b, c$ तथा $d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Given that
$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right) \,\leq \,0$ .........$(1)$
But $L.H.S.$
$=\left(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2}\right)+\left(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2}\right)+\left(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}\right)$
which gives $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}\, \geq \,0$ ..........$(2)$
Since the sum of squares of real numbers is non negative, therefore, from $(1)$ and $(2),$
we have, $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$
or $a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0$
This implies that $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$
Hence $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$
गुणोत्तर श्रेणी $5, - \frac{5}{2},\frac{5}{4}, - \frac{5}{8},...$ का $n$ वाँ पद$\frac{5}{{1024}}$ हो, तो $n$ का मान होगा
यदि किसी गुणोत्तर श्रेणी का $4$ वाँ, $10$ वाँ तथा $16$ वाँ पद क्रमश: $x, y$ तथा $z$ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
यदि $y = x - {x^2} + {x^3} - {x^4} + ......\infty $, तो $x$ का मान होगा
यदि $b$, एक ऐसी अपरिमित गुणोत्तर श्रेढ़ी जिसका योग $5$ है, का प्रथम पद है, तो $b$ जिस अंतराल में स्थित है, वह है
यदि $3 + 3\alpha + 3{\alpha ^2} + .........\infty = \frac{{45}}{8}$, तो $\alpha $ का मान होगा