यदि $a, b, c, d$ तथा $p$ विभिन्न वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right) \leq 0$ तो दर्शाइए कि $a, b, c$ तथा $d$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं।
Given that
$\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right) p^{2}-2(a b+b c+c d) p+\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right) \,\leq \,0$ .........$(1)$
But $L.H.S.$
$=\left(a^{2} p^{2}-2 a b p+b^{2}\right)+\left(b^{2} p^{2}-2 b c p+c^{2}\right)+\left(c^{2} p^{2}-2 c d p+d^{2}\right)$
which gives $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}\, \geq \,0$ ..........$(2)$
Since the sum of squares of real numbers is non negative, therefore, from $(1)$ and $(2),$
we have, $(a p-b)^{2}+(b p-c)^{2}+(c p-d)^{2}=0$
or $a p-b=0, b p-c=0, c p-d=0$
This implies that $\frac{b}{a}=\frac{c}{b}=\frac{d}{c}=p$
Hence $a, b, c$ and $d$ are in $G.P.$
श्रेणी $(32)(32) 1/6(32)1/36 ...... $ अनन्त पदों तक का गुणनफल है
एक व्यक्ति की दसवीं पीढ़ी तक पूर्वजों की संख्या कितनी होगी, जबकि उसके $2$ माता-पिता, $4$ दादा-दादी, $8$ पर दादा, पर दादी तथा आदि हैं।
$2, 14, 62$ में क्या जोड़ें, कि वे गुणोत्तर श्रेणी में हो जायें
निम्नलिखित श्रेणियों के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।
$6+.66+.666+\ldots$
यदि त्रिघातीय समीकरण $a{x^3} + b{x^2} + cx + d = 0$ के मूल गुणोत्तर श्रेणी में हैं, तब