समीकरण $\left|\begin{array}{ccc}x & -6 & -1 \\ 2 & -3 x & x-3 \\ -3 & 2 x & x+2\end{array}\right|=0$, के वास्तविक मूलों का योगफल है

यदि $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & 1 & -2 \\ 2 & 1 & -3 \\ 5 & 4 & -9\end{array}\right],$ हो तो $| A |$ ज्ञात कीजिए।

यदि समीकरणों के निकाय $x+y+z=2$, $2 x+4 y-z=6$, $3 x+2 y+\lambda z=\mu$ के अनन्त हल हैं, तो

यदि $\omega $ इकाई का काल्पनिक मूल हो, तो $\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}a&{b{\omega ^2}}&{a\omega }\\{b\omega }&c&{b{\omega ^2}}\\{c{\omega ^2}}&{a\omega }&c\end{array}\,} \right|$ का मान होगा

माना कि दो $3 \times 3$ आव्यूह (matrices) $M$ तथा $N$ इस प्रकार है कि $M N=N M$ है। यदि $M \neq N^2$ तथा $M^2=N^4$ हो, तो

$(A)$ $\left( M ^2+ MN ^2\right)$ के सारणिक (determinant) का मान शून्य है।

$(B)$ एक ऐसा $3 \times 3$ शून्येतर (non-zero) आव्यूह $U$ है जिसके लिये $\left( M ^2+ MN ^2\right) U$ शून्य आव्यूह है।

$(C)$ $\left( M ^2+ MN ^2\right)$ के सारणिक मान $\geq 1$ है।

$(D)$ $3 \times 3$ आव्यूह $U$ जिसके लिये $\left( M ^2+ MN ^2\right) U$ शून्य आव्यूह है तो $U$ भी एक शून्य आव्यूह होगा।

$\Delta=\left|\begin{array}{ccc}0 & \sin \alpha & -\cos \alpha \\ -\sin \alpha & 0 & \sin \beta \\ \cos \alpha & -\sin \beta & 0\end{array}\right|$ का मान ज्ञात कीजिए।