माना $A (1, \alpha), B (\alpha, 0)$ तथा $C (0, \alpha)$ शीर्षो वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $4$ वर्ग इकाई है। यदि बिन्दु $(\alpha,-\alpha),(-\alpha, \alpha)$ तथा $\left(\alpha^2, \beta\right)$ संरेखीय हो, तो $\beta$ का मान होगा

माना $D _{ k }=\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 k & 2 k -1 \\ n & n ^2+ n +2 & n ^2 \\ n & n ^2+ n & n ^2+ n +2\end{array}\right|$.हैं। यदि $\sum \limits_{ k =1}^n$ $D _{ k }=96$है, तो $\mathrm{n}$ बराबर है ____________।

समीकरण के निकाय ${x_1} + 2{x_2} + 3{x_3} = a2{x_1} + 3{x_2} + {x_3} = $ $b3{x_1} + {x_2} + 2{x_3} = c$ का हल होगा

माना $[\lambda]$ महत्तम पूर्णांक $\leq \lambda$ हैं। $\lambda$ के सभी मानों, जिनके लिए रैखिक समीकरण निकाय $x + y + z =4$, $3 x +2 y +5 z =3,9 x +4 y +(28+[\lambda]) z =[\lambda]$ का हल है, का समुच्चय है

समीकरण निकाय $x + y - z = 0$, $3x - y - z = 0$, $x - 3y + z = 0$ के हलों की संख्या होगी

$\left| {\,\begin{array}{*{20}{c}}x&4&{y + z}\\y&4&{z + x}\\z&4&{x + y}\end{array}\,} \right| = $