${\left( {\frac{1}{2}{x^{1/3}} + {x^{ - 1/5}}} \right)^8}$ ના વિસ્તરણમાં અચળપદ  મેળવો.

$\left(x-\frac{3}{x^{2}}\right)^{m}$ ના વિસ્તરણમાં પ્રથમ ત્રણ પદોના સહગુણકોનો સરવાળો $559$ છે. વિસ્તરણમાં $x^{3}$ હોય તેવું પદ શોધો. $m$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે. 

ધારોકે $\left(x^{\frac{2}{3}}+\frac{2}{x^3}\right)^{30}$ના વિસ્તરણમાં $x^{-\alpha}$ વાળો પદ હોય તેવો $\alpha > 0$ નાનામાં નાની સંખ્યા $\beta x^{-\alpha}, \beta \in N$ છે. તો $\alpha$ ની  કિમંત મેળવો.

$\left(2+\frac{x}{3}\right)^{n}$ ના વિસ્તરણમાં જો $x^{7}$ અને $x^{8}$ ના સહગુણક સમાન હોય તો $n$ ની કિમંત મેળવો.

$(1+a)^{m+n}$ ના વિસ્તરણમાં વર્ષ $a^{m}$ અને $a^{n}$ ના સહગુણકો સમાન છે તેમ સાબિત કરો. 

$\left( {{7^{1/5}} - {3^{1/10}}} \right)^{60}$  ના વિસ્તરણમાં કુલ અસંમેય પદોની સંખ્યા મેળવો.