- Home
- Standard 12
- Mathematics
3 and 4 .Determinants and Matrices
hard
$3 \times 3$ શ્રેણિક $A$ કે જેના ઘટકોએ ગણ $(0,1,2,3)$ માંથી છે કે જેથી $AA ^{ T }$ ના વિકર્ણોના ઘટકોનો સરવાળો $9$ થાય છે તો આવા કેટલા શ્રેણિક મળે ?
A
$728$
B
$712$
C
$824$
D
$766$
(JEE MAIN-2021)
Solution
Let $A =\left[\begin{array}{lll} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{array}\right]$
diagonal elements of $AA ^{ T }, \quad a ^{2}+ b ^{2}+ c ^{2}, d ^{2}+ e ^{2}+ f ^{2}, g ^{2}+ b ^{2}+ c ^{2}$
Sum $=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+e^{2}+f^{2}+g^{2}+h^{2}+i^{2}=9$ $a , b , c , d , e , f , g , h , i \in\{0,1,2,3\}$
| Case | No. of Matrices | |
| $(1)$ | $All -1 s$ | $\frac{9 !}{9 !}=1$ |
| $(2)$ | One $\rightarrow 3$ remaining$-0$ |
$\frac{9 !}{1 ! \times 8 !}=9$ |
| $(3)$ | One$-2$ five $-1s$ three$-0s$ | $\frac{9 !}{1 ! \times 5 ! \times 3 !}=8 \times 63$ |
| $(4)$ | two $-2^{\prime}$ s one$-1$ $\operatorname{six}-0^{\prime} s$ |
$\frac{9 !}{2 ! \times 6 !}=63 \times 4$ |
Total no. of ways $=1+9+8 \times 63+63 \times 4$
$=766$
Standard 12
Mathematics
